Zeigen sie : Jede reelle Zahl ist Grenzwert einer monotonen beschränkten Folge von rationalen Zahlen.

Aufrufe: 818     Aktiv: 15.12.2020 um 18:57
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Hallo :) ,

Mir fallen Beweise noch sehr schwer. Ich weiß, dass das mit der Dichtheit der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen zusammenhängt. Aber ich weiß leider nicht wie ich den Beweis mathematisch darstellen kann.

Ich würde mich freuen wenn mir Jemand weiter helfen kann.

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1 Antwort
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Ich würde so vorgehen: Sei \(x\in\mathbb{R}\). Definiere induktiv \((q_n)\subseteq\mathbb{Q}\) wie folgt: Wähle ein beliebiges \(q_1\in (x,x+1)\cap\mathbb{Q}\) (warum geht das?). Wenn \(q_n\) schon definiert ist, dann wähle ein beliebiges \(q_{n+1}\in\left(x,\min\{q_n,x+\frac1n\}\right)\cap\mathbb{Q}\) (warum geht das?). Zeige jetzt die gewünschten Eigenschaften für die Folge \((q_n)\). Melde Dich, wenn du nicht zurecht kommst.

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Vielen lieben Dank für Ihre Antwort !
Ich bin mir nicht ganz sicher wie q1 gewählt werden soll? Meinen Sie mit q1 Element aus (x,x+1) ein Element zwischen x und x+1?
   ─   smila 15.12.2020 um 18:04
Genau, ich meine damit das offene Intervall.   ─   slanack 15.12.2020 um 18:06
Danke das hat mir sehr geholfen :)   ─   smila 15.12.2020 um 18:57

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