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Hallo,
als Experte will ich mich nicht bezeichnen aber vielleicht bekommen wir es zusammen gelöst.
Was soll hier genau bestimmt werden? Geht es um den Abstand vom Grenzwert der Fourier Reihe und der Transformation? Oder soll der Abstand zwischen dem Grenzwert der Reihe und der Funktion bestimmt werden?
Stimmt die Gleichung für \( \tilde{f}(x) \)? Denn wenn es um die Fourier Transformation gilt dann dürfte die zu integrierende Variable ja nicht die selbe sein, wie die Variable der transformierten.
Dann würden sich die Integrale vermutlich zusammenfassen lassen.
Ansonsten fällt mir noch auf, das die Lösung auch folgendermaßen geschrieben werden kann
\( s_n(f;x) - \tilde{f}(x) = \frac 1 {2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) d_n(x-t) dt - \tilde{f}(x) \)
Wir müssen also eventuell noch eine substitution machen mit \( t \to x-t \)
Grüße Christian
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Also die Idee mit der Substitution hatte ich auch schon, mein Problem ist aber das f-Schlange mit ins integral und vor allem auf den Bruch zu bekommen.
Ziel ist es später das integral in 2 teile aufzuteilen, die dann nach Riemann Lebesgue gegen 0 konvergieren und man damit sagen kann das die partilsummen sn gegen f-Schlange konvergieren ─ ikeek 16.04.2019 um 10:21
Ich habe nochmal etwas recherchiert. Bei \( d_n(x) \) handelt es sich um den Dirichlet- Kern oder?
Er ist definiert über
\( \int_0^{2\pi} d_n(x) dx = 2 \pi \\ \Rightarrow \frac 1 {2 \pi} \int_0^{2\pi} d_n(x) dx = 1 \)
Dadurch lässt sich deine Differenz folgendermaßen schreiben.
\( s_n(f;x) - \tilde{f}(x) = \frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi}d_n(x-t)f(t)dt - \frac {\tilde{f}(x)} {2 \pi } \int_0^{2\pi} d_n(t) dt \\ = \frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi}d_n(x-t)f(t)dt - \frac {\tilde{f}(x)} {2 \pi } \int_{- \pi}^{\pi} d_n(t) dt \)
Nun lassen sich die Integrale zusammenfassen zu
\( \frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi}d_n(x-t)f(t)dt - \frac {\tilde{f}(x)} {2 \pi } \int_{- \pi}^{\pi} d_n(t) dt \\ = \frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi}d_n(t)f(t-x)dt - \frac {\tilde{f}(x)} {2 \pi } \int_{- \pi}^{\pi} d_n(t) dt \\ = \frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi}d_n(t) [ f(t-x) - \tilde{f}(x) ] dt \)
Wenn nun \( \tilde{f}(t-x) = f(t-x) \) gelte wäre die Gleichung bewiesen. Was meinst du dazu?
Grüße Christian ─ christian_strack 16.04.2019 um 14:15
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Wenn ich dort die markierte Gleichung mit dem gleichen Trick mit der 1 herleiten will, bekomme ich Probleme mit den Grenzen von -pi bis 0 bzw 0 bis pi, wahrscheinlich muss man dort noch irgendetwas ausnutzen was ich gerade nicht sehe.. ─ ikeek 17.04.2019 um 12:28