Moin pordha!

Hier wurde zum Ableiten einfach die Produktregel verwendet: \((f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\)

Es folgt somit für \(g(x)=(x^2+x)e^{-x}\):

\(g'(x)=(2x+1)e^{-x}+(x^2+x)(-1)e^{-x}\)

Das kannst du durch Umformung auf die gegeben Ableitung dort bringen.

Um jetzt \(g''(x)\) und \(g'''(x)\)= zu bestimmen, wendest du einfach die Produktregel wieder auf die Ableitungen an.

Grüße

Produktregel : wenn \( (g(x))´ =(u(x)*v(x))´ = u´(x) *v(x) + v´(x)*u(x) \text { dann folgt mit  } u(x)=x^2+x \text{ und }  v(x) = e^{-x}\text {,   } 
u´(x) =2x+1 \text{ und } v´(x) = -e^{-x}\)
\(\text { mit der Formel u´v+vú eingesetzt } g`= (2x+1)e^{-x}+ (x^2+x)*(-1)e^{-x} = e^{-x}(2x +1 -x^2 -x)= e^{-x}(-x^2 +x +1)  \)
Genauso geht es mit den höheren Ableitungen : Produktregel anwenden

e ^x abgeleitet ist immer e ^x. Also das wird immer mitgenommen, wenn e hoch x ohne ein Zahl davor, oben steht...