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Hallo,
dein Ansatz ist an sich korrekt. Du musst jetzt nur unterschiedliche Fälle bestimmen.
Die erste und vierte Gleichung liefert uns
$$ c = 0 \lor f=0 $$
Die zweite Gleichung liefert uns
$$ a=d \lor f =0 $$
Daraus kannst du jetzt eine Fallunterscheidung starten und für die verschiedenen Fälle durch die dritte Gleichung Lösungen erhalten.
Zum Beispiel der erste Fall ist
$$ c = f = 0 \land a = d = \mathrm{bel.} $$
Was bedeutet das für \( e,g,h \)?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Ich habe nun meine 3. Gleichung etwas zusammengefasst und komme dann auf \(c(e-h)+g(d-a)=0\) Wenn ich nun meine Bedingungen einsetze dann komme ich doch auf \(0=0\) oder betrachte ich die Teilausdrücke und schaue mir an wann diese jeweils 0 werden? Weil dann hätte ich \(e = h \land g = 0\).
─
janaselb
12.10.2020 um 20:03
Dadurch das \( c=0 \) und \( d=a \) ist die Gleichung sofort erfüllt. Somit kann auch beispielsweise \( e = 1 \) und \( h=2 \) gelten. Durch diesen ersten Fall sind alle Gleichungen erfüllt und wir können die restlichen Koeffizienten komplett beliebig wählen.
Welche Fälle gibt es noch die betrachtet werden müssen? ─ christian_strack 13.10.2020 um 07:37
Welche Fälle gibt es noch die betrachtet werden müssen? ─ christian_strack 13.10.2020 um 07:37
Dadurch, dass ich mit den Bedingungen die Gleichung nicht weiter vereinfachen kann wäre das für den ersten Fall gelöst? Somit kann ich jeden Koeffizienten beliebig wählen und das Ergebnis geht immer auf (habe es mal nachgerechnet). Als zweiten Fall würde ich sagen \( e=h \land c=g=0 \)?
─
janaselb
13.10.2020 um 11:40
Ich hab etwas rumgeschmiert und nachgerechnet. Wenn ich die Bedingung \(a=d \land c=0\) nutze, dann ist es an sich egal, welche Werte ich für \(e,f,g,h\) einsetze, weil die Bedingung \(MA=AM\) immer erfüllt zu sein scheint. Am Ende habe ich dann immer \(a\) mal eine beliebige Matrix aus \(M_{22}\) oder nicht?
─
janaselb
13.10.2020 um 11:51
Genau das wäre es dann für den ersten Fall.
1. Fall:
$$ c=f=0 \land a=d = \mathrm{bel.} \land e,g,h \ \mathrm{bel.} $$
Ich würde nun weiter so vorgehen, dass du \( a,c,d \) und \( f \) wählst. Die restlichen Koeffizienten ergeben sich dann immer durch die dritte Gleichung und so deckst du alle Fälle ab. Wenn du jetzt anfängst \( c,e,g \) und \( h\) zu wählen kommst du am Ende durcheinander.
Deine zweite Antwort ist deshalb besser. Und da hast du recht! Wenn \( a=d \) und \( c=0 \) sind sofort alle Gleichungen erfüllt. Wir sehen hier tatsächlich das unser erster Fall ein Speziallfall von diesem zweiten Fall ist.
Wir können also die ersten beiden Fälle zusammenfassen zu:
$$ c=0 \land a=d = \mathrm{bel.} \land e,f,g,h \ \mathrm{bel.} $$
Zum Verständnis: wir erhalten also damit die beiden Matrizen
$$ M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} , \quad A = \mathrm{bel.} $$
\( M \) ist also in diesem Fall unsere erste gesuchte Matrix, denn sie soll ja für alle \( A \in M_{22} \) gelten und das tut sie in diesem Fall (Aus dem eigentlichen ersten Fall, hatten wir eine Einschränkung für \( f \) und deshalb hätte dieser Fall uns keine gesuchte Matrix geliefert :))
Wenn wir uns nun die erste Gleichung angucken, haben wir alle Fälle mit \( c=0 \) abgedeckt. Also wählen wir als nächstes \( c \neq 0 \). Was bedeutet dass dann für \( f\)?
Wenn wir dann eine Wahl für \( f \) getroffen haben, welche Fälle finden wir für \( a \) und \( d\)? ─ christian_strack 13.10.2020 um 13:05
1. Fall:
$$ c=f=0 \land a=d = \mathrm{bel.} \land e,g,h \ \mathrm{bel.} $$
Ich würde nun weiter so vorgehen, dass du \( a,c,d \) und \( f \) wählst. Die restlichen Koeffizienten ergeben sich dann immer durch die dritte Gleichung und so deckst du alle Fälle ab. Wenn du jetzt anfängst \( c,e,g \) und \( h\) zu wählen kommst du am Ende durcheinander.
Deine zweite Antwort ist deshalb besser. Und da hast du recht! Wenn \( a=d \) und \( c=0 \) sind sofort alle Gleichungen erfüllt. Wir sehen hier tatsächlich das unser erster Fall ein Speziallfall von diesem zweiten Fall ist.
Wir können also die ersten beiden Fälle zusammenfassen zu:
$$ c=0 \land a=d = \mathrm{bel.} \land e,f,g,h \ \mathrm{bel.} $$
Zum Verständnis: wir erhalten also damit die beiden Matrizen
$$ M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} , \quad A = \mathrm{bel.} $$
\( M \) ist also in diesem Fall unsere erste gesuchte Matrix, denn sie soll ja für alle \( A \in M_{22} \) gelten und das tut sie in diesem Fall (Aus dem eigentlichen ersten Fall, hatten wir eine Einschränkung für \( f \) und deshalb hätte dieser Fall uns keine gesuchte Matrix geliefert :))
Wenn wir uns nun die erste Gleichung angucken, haben wir alle Fälle mit \( c=0 \) abgedeckt. Also wählen wir als nächstes \( c \neq 0 \). Was bedeutet dass dann für \( f\)?
Wenn wir dann eine Wahl für \( f \) getroffen haben, welche Fälle finden wir für \( a \) und \( d\)? ─ christian_strack 13.10.2020 um 13:05
Wenn c ungleich 0 ist, dann ist f trotzdem noch 0. Wenn ich das dann in meine 2. Gleichung einsetze können a und d beliebig sein, da es nichts am Resultat ändert. Setze ich diese Erkenntnis in meine 3. Gleichung ein komme ich auf \( c(e-h) + g(d-a) = 0\). Um diese Gleichung zu erfüllen müssen \(e-h=0 \land g=0\) sein, sprich e=h und g=0.
Mein 3. Fall wäre dann c = 0 und f ungleich 0 oder? ─ janaselb 13.10.2020 um 13:24
Mein 3. Fall wäre dann c = 0 und f ungleich 0 oder? ─ janaselb 13.10.2020 um 13:24
Ich glaube du hast es am Ende falsch rum geschrieben. Wenn \( c\neq 0 \) ist, dann muss \( f=0 \) sein. Ansonsten ist es richtig. :)
Jetzt betrachte aber nochmal deine Aufgabenstellung. Was bedeutet das wenn \( f=0 \) ist? ─ christian_strack 13.10.2020 um 13:44
Jetzt betrachte aber nochmal deine Aufgabenstellung. Was bedeutet das wenn \( f=0 \) ist? ─ christian_strack 13.10.2020 um 13:44
Ach oder meintest du 3ter Fall, weil wir ja schon die ersten beiden zusammengelegt haben? Dann stimmt alles. Trotzdem versuch einmal die letzte Frage zu beantworten :)
─
christian_strack
13.10.2020 um 13:46
Wenn ich f = 0 setze, hätte ich dann nicht so etwas wie A = M ? Weil alle Koeffizienten beliebig wären, außer mein oberer rechter Wert der Matrix?
─
janaselb
13.10.2020 um 13:48
Wir wollen die Matrix \( M \) so aufstellen, sodass die Gleichung für alle \( A \in M_{22} \) gilt, also alle 2x2 Matrizen. Was passiert denn wenn wir \( f=0 \) als Einschränkung wählen?
─
christian_strack
13.10.2020 um 13:50
Ich muss zugeben, dass ich am Anfang die Aufgabenstellung nicht zu 100% richtig betrachtet habe. Wir sind nämlich ab diesem Punkt schon fertig. Kommst du drauf wieso? :)
─
christian_strack
13.10.2020 um 13:54
Weil wir mit der Matrix M aus dem 1. Fall die Gleichung für alle Matrizen A erfüllt ist.
─
janaselb
13.10.2020 um 14:00
Jaein. Auch, aber vor allem aber weil wir für jeden weiteren Fall die Matrix \( A \) einschränken müssen. Denn ist \( c \neq 0 \), dann muss \( f=0 \) sein und die Gleichung gilt nur noch für alle Matrizen der Form
$$ A = \begin{pmatrix} e & 0 \\ g & h \end{pmatrix} $$
und das sind eben nicht alle 2x2 Matrizen.
Es sind nur alle Koeffizienten von \( A \) beliebig, wenn \( c=0 \) und \( a =d \). :) ─ christian_strack 13.10.2020 um 15:12
$$ A = \begin{pmatrix} e & 0 \\ g & h \end{pmatrix} $$
und das sind eben nicht alle 2x2 Matrizen.
Es sind nur alle Koeffizienten von \( A \) beliebig, wenn \( c=0 \) und \( a =d \). :) ─ christian_strack 13.10.2020 um 15:12
Erst einmal vielen Dank für deine Hilfe und dein Durchhaltevermögen! Ich werde das nachher nochmal in Ruhe nachrechnen, damit ich das nun richtig verstehe. Aber alles in allem super erklärt!
─
janaselb
13.10.2020 um 15:57
Sehr gerne. Das freut mich sehr zu hören :)
Wenn doch nochmal eine Rückfrage kommt, dann melde dich gerne nochmal. ─ christian_strack 13.10.2020 um 16:31
Wenn doch nochmal eine Rückfrage kommt, dann melde dich gerne nochmal. ─ christian_strack 13.10.2020 um 16:31