Schreibe die Definitionen der Binomialkoeffizienten mittel der Fakultäten auf. Dann erweitere den ersten Term mit m+1 und den zweiten mit n+1. Dann auf den Hauptnenner bringen. Im Nenner steht dann (m+1)! (n+1)! und im Zähler (Ausklammer von (n+m+1)! steht dann (n+m+2) (n+m+1)! was (n+m+2)! ist.

Falls \(n,m\in \mathbb{N}\) seien sollten (was ich annehme), dann kannst du das über die Definition des Binomialkoeffizienten beweisen. Es gilt für \(n,k\in \mathbb{N}\) mit \(k\leq n\):

\(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)

Ich denke es ist klar, dass \(n!=1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\) die Fakultät von \(n\) ist.

Nun gilt für deine Summe von Binomialkoeffizienten:

\(\binom{n+m+1}{m} +\binom{n+m+1}{m+1} =\dfrac{(n+m+1)!}{m!(n+1)!} +\dfrac{(n+m+1)!}{(m+1)!n!}=\dfrac{(m+1)(n+m+1)!}{(m+1)m!(n+1)!} +\dfrac{(n+1)(n+m+1)!}{(m+1)!n!(n+1)}=\dfrac{(m+1)(n+m+1)!+(n+1)(n+m+1)!}{(m+1)!(n+1)!}=\dfrac{(m+1+n+1)(n+m+1)!}{(m+1)!(n+1)!}=\dfrac{(n+m+2)!}{(m+1)!(n+1)!} =\binom{n+m+2}{m+1}\)

Allgemein kann für \(\alpha \in \mathbb{R}\) und \(n\in \mathbb{N}\) mittels vollständiger Induktion gezeigt werden, dass \(\binom{\alpha}{n} +\binom{\alpha}{n-1}=\binom{\alpha+1}{n}\) gilt für den reellen Binomialkoeffizienten \(\binom{\alpha}{n}:=\dfrac{1}{n!} \displaystyle{\prod_{j=1}^n (\alpha-j+1)}\). Damit gilt der Fall insbesondere für den natürlichen Binomialkoeffizienten und ist somit bei dir anwendbar. Ich nehme an, das die Gleichung bereits mal gezeigt wurde und du sie deswegen ohne weitere Erklärung verwendet wird.

Du kannst dir auch gerne das Pascal'sche Dreieck vor Augen führen und anhand einiger Beispiel für \(n\) und \(m\) deutlich machen, was die Gleichung aussagt.

Hoffe das hilft dir beim Verstehen weiter.

Hallo,

Mit dem pascalschen Dreieck geht es einfacher:

Gruß 

Elayachi Ghellam