Eine Möglichkeit wäre, eine Gerade durch den Mittelpunkt senkrecht zur Grundfläche aufzustellen. Dann weißt du zumindest, dass die Eckpunkte alle den gleichen Abstand zu den Punkten auf der Gerade haben. Im zweiten Schritt muss du dann einen Punkt \(H\) auf dieser Geraden so finden (den kann man allgemein in Abhängigkeit des Parameters angeben), dass der Abstand von einem der Punkt zur Gerade mit dem Abstand von \(H\) zu \(S\) übereinstimmt. Das führt auf ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösung dir den gesuchten Punkt liefert. 

Hilft dir der Ansatz weiter?

Wenn du eine Gerade durch M und S bildest, liegt der gesuchte Punkt H darauf. Schreibe H als Punkt (mit Parameter) und bilde/berechne den Abstand HS;
Bilde/berechne dann den Abstand von H zu einem der Eckpunkte, setze beide Abstände gleich und ermittle den Parameter
Berechne den "Umkugelmittelpunkt"