Hi, 

die Sache ist, dass bei der Funktion \(f(x)=\frac{x^2-x-12}{x+3}\) die -3 nicht im Definitionsbereich liegt und die Funktion daher an dieser Stelle nicht definiert ist. (Weil man eben durch 0 teilen würde.)

Bei der Grenzwertbetrachtung wollen wir aber schauen, wie es wäre, wenn wir uns der -3 langsam annähern. Denn es kann durchaus der Fall sein, dass sich \(f(x)\) tatsächlich einem konkreten Wert nähert, wenn \(x\rightarrow -3\). (Also wenn sich \(x\) der -3 annähert). 

Deshalb kann man hier versuchen, \(f(x)\) durch eine Termumformung so umzuformen, dass wir die -3 in den Term einsetzen können. Dann ist dies aber nicht der Funktionswert an der Stelle -3 (denn dieser existiert nicht!), sondern der Grenzwert für \(x\rightarrow -3\). 

Man könnte dann zum Beipiel auch eine neue Funktion definieren:

\(g(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) mit \(g(x)=f(x)\) für \(x\neq -3\) und \(g(x)=-7\) für \(x=-3\). Dann nennen wir \(g(x)\) die stetige Fortsetzung von \(f(x)\) an der Stelle \(x=-3\). 

Aber es gibt auch Funktionen, bei denen das nicht so einfach geht. Zum Beispiel können wir die Funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) betracheten. Hier existiert der Grenzwert \(\lim_{x\to 0}f(x)\) nicht. Denn wenn wir uns von links der 0 annähern (linksseitiger Grenzwert), dann werden die Funktionswerte immer kleiner (\(f(x)\rightarrow -\infty\)). Nähern wir uns aber von rechts der 0 an (rechtsseitiger Grenzwert), so werden die Funktionswerte immer größer (\(f(x)\rightarrow\infty\)). Hier existiert also kein eindeutiger Grenzwert. Das kann man graphisch auch sehr gut sehen :)

Hat das deine Frage schon beantwortet?

Liebe Grüße :)