Deine Musterlösung nutzt die Definition des Begriffs "Nullfolge" (siehe Videotipp!). Danach ist der Grenzwert hier 10, wenn \( |a_n-10|<\varepsilon \) ist, sobald n<N. Also ist hier zu zeigen, dass 4/n kleiner als ein beliebig vorgegebenes \(\varepsilon\) ist, und das ist tatsächlich der Fall, wenn n größer als eine natürliche Zahl \(N > 1/\varepsilon \) ist. Probiere es aus. Für \(\varepsilon = 0,1 \) reicht n<10 aus, für 0,01 würde n>100 reichen usw. Schau trotzdem einmal ins Video zum besseren verständnis.

Du verwendest hier das \(\varepsilon\)-Kriterium und musst dir nur dein \(N=N(\varepsilon)\) geeignet wählen, dass die Ungleichung nach \(\varepsilon\) aufgeht. (Dein \(N\) muss von \(\varepsilon\) abhängen, deswegen schreib ich \(N(\varepsilon)\)!) In der Definition heißt es ja "es gibt ein N(\varepsilon), so dass für alle \(n\geq N(\varepsilon)\) ..." Dieses eine wählst du dir nun gleich \(\dfrac{4}{\varepsilon}\) (eigentlich wäre echt größer sinnvoller), damit folgt:

\(|a_n-a|=\left|10-\dfrac{4}{n}-10\right|=\left|-\dfrac{4}{n}\right|=\dfrac{4}{n} \overset{n\geq N(\varepsilon)}{\leq} \dfrac{4}{N(\varepsilon)} \overset{N(\varepsilon)=\frac{4}{\varepsilon)}}{=} \dfrac{4\varepsilon}{4} =\varepsilon\)

Hoffe das hilft weiter.

Zunächst, kannst du nicht einfach \( \infty \) einsetzen. Wenn man über reelle Zahlen spricht, dann ist \( \infty \) nur ein Symbol und keine Zahl, die man einsetzen kann.

Um den Grenzwert nachzuweisen, musst du dich streng an die Definition halten. Die hast du bestimmt irgendwo in deinen Unterlagen stehen. Ich werde sie hier aber noch mal wiederholen:

Wir nennen \( a \) den Grenzwert der Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \), wenn es für jedes \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \) gibt, sodass die Ungleichung \( \vert a_n - a \vert \le \varepsilon \) für alle \( n \ge N \) gilt.

In diesem konkreten Fall haben wir die Folge \( a_n = 10 - \frac{4}{n} \). Um nachzuweisen, dass der Grenzwert \( a=10 \) ist, müssen wir also zeigen, dass wir für jedes \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \) finden, sodass die Ungleichung \( \vert 10- \frac{4}{n} - 10 \vert \le \varepsilon \) für alle \( n \ge N \) gilt.

Also schauen wir uns mal ein beliebiges \( \varepsilon > 0 \) an. Zu diesem \( \varepsilon \) können wir jetzt \( N=\frac{4}{\varepsilon} \) wählen, dann gilt nämlich \( \vert 10- \frac{4}{n} - 10 \vert = \frac{4}{n} \le \frac{4}{N} = \frac{4}{\frac{4}{\varepsilon}} = \varepsilon \) für alle \( n \ge N \), genau so wie wir es haben wollten.

Und da \( \varepsilon > 0 \) beliebig war. Können wir das für alle \( \varepsilon > 0 \) so machen. Wir finden also für alle \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \), sodass die Ungleichung \( \vert 10- \frac{4}{n} - 10 \vert \le \varepsilon \) für alle \( n \ge N \) gilt.

Und damit haben wir gezeigt, dass \( 10 \) der Grenzwert der Folge \( a_n = 10 - \frac{4}{n} \) ist.