Integration durch substitution

Aufrufe: 664     Aktiv: 27.12.2019 um 12:28
0
Ich habe eine Frage zur Substitutionsmethode. Wenn ich eine Funktion integrieren möchte und dort steht: f(g(x)) * g‘(x) ist alles klar, ich substituiere einfach g(x). Was ist aber wenn ich diese innere Funktion nicht erkenne ich also nicht genau sehe. (Siehe bild). Gibt es also verschiedene Substitutionen?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 15

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Hallo,

wenn du \(y=\sqrt{x}\) substituierst, dann gilt: 

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2y}.$$

Es folgt: \(dx=2y\ dy\)

Somit hast du:

$$\int{\sqrt{\sqrt{x}+1}}\ dx=\int\sqrt{y+1}\cdot2y\ dy$$

Dann kannst du noch \(z=y+1\) substituieren:

$$\int{\sqrt{\sqrt{x}+1}}\ dx=\int\sqrt{z}\cdot2(z-1)\ dz$$

Das kann man dann ausmultiplizieren und auseinander ziehen:

$$\int\sqrt{z}\cdot2(z-1)\ dz=2\Biggl(\int z\sqrt{z}\ dz-\int\sqrt{z}\ dz\Biggr)=2\Biggl(\int z^{3/2}\ dz-\int z^{1/2}\ dz\Biggr)$$

Das sind jetzt einfache Integrale:

$$\int z^{3/2}\ dz-\int z^{1/2}\ dz=\frac{2}{5}z^{5/2}-\frac{2}{3}z^{3/2}.$$

Wenn du dann wieder alles zusammenschusterst und resubstituierst, bist du fertig und solltest dein Ergebnis auf die Form:

$$\frac{4}{15} \Bigl(1 + \sqrt{x}\Bigr)^{3/2} \Bigl(-2 + 3 \sqrt{x}\Bigr)$$

bringen können! ;)

 

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 2.6K

 
Wieso kann ich einfach x^(1/2) substituieren?
Die funktion ist ja nicht von der Form f(g(x)) * g‘(x)? Oder ist diese form für die Substitution nicht notwendig?   ─   anonym4d9d4 19.12.2019 um 16:14
Substituieren kannst du, wie du möchtest. Du musst nur daran denken, dass sich dann dein \(dx\) nicht einfach direkt zu \(dy\) ändert, sondern möglicherweise einen Faktor enthält, der genauso schlimm oder schlimmer als vorher sein kann! :)   ─   endlich verständlich 19.12.2019 um 16:19
Ich weiß aber nicht, was ihr gelernt habt und benutzen dürft. Fakt ist, dass du ersetzen darfst was du willst und dann aufpassen musst, dass du alles richtig machst. Eine allgemeine Substitution wäre: \(y=f(x)\). Dann gilt \(\frac{dy}{dx}=f'(x)\), also \(dx=\frac{1}{f'(x)}dy\). Wenn du eine Funktion \(f(g(x))\cdot g'(x)\) hast, dann kannst du \(y=g(x)\) substituieren und bekommst \(\frac{dy}{dx}=g'(x)\) und somit \(dx=\frac{1}{g'(x)}dy\). Wenn du das einsetzt, dann gilt:
\(\int f(g(x))\cdot g'(x)\ dx=\int f(y) \cdot g'(x)\cdot \frac{1}{g'(x)}\ dy=\int f(y)\ dy\), also eine besonders schöne Form, die du dann hast! :)
Es geht aber auch allgemeiner! ;)   ─   endlich verständlich 19.12.2019 um 16:31
Also ich kann das eigentlich immet machen?
Ohne zu sehen welches die innere funktion ist.
Dann ist es erfahrung damit ich dann auch das richtige substituiere?   ─   anonym4d9d4 19.12.2019 um 16:41
Also mir ist wie nicht klar wieso ich den substituirten teil ableiten muss. Ist das nur um die beziehung mit du/dx herzustellen?   ─   anonym4d9d4 19.12.2019 um 16:45
Ja das kannst du immer machen.
Ohne zu sehen, welches die innere Funktion ist!
Erfahrung oder halt ausprobieren. Beim Wurzeln substituieren ist es halt schön, dass die Ableitung ja wieder eine Wurzel enthält.
Ganz genau! Du brauchst eine Beziehung zwischen \(dx\) und \(dy\) und wenn du \(y\) nach \(x\) ableitetest, ist das ja gerade \(\frac{dy}{dx}\). ;)   ─   endlich verständlich 19.12.2019 um 17:00

Kommentar schreiben