Hallo,

b) ist richtig, denn

$$ \sum\limits_{k=1}^n \lambda_k v_k = 0 $$

bedeutet lineare Unabhängigkeit, wenn diese Gleichung nur erfüllt wird, für \( \lambda_k = 0 \), für alle \( k =\{ 1,2,3,\ldots , n \} \).

Nun gilt in deinem Fall \( n=1 \), also

$$ \lambda \cdot v = 0 $$

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Da \( v\neq 0 \), muss \( \lambda = 0 \) gelten. Damit erhalten wir die lineare Unabhängigkeit.

c) Diese Aussage stimmt nicht. Ganz einfaches Gegenbeispiel zeigt dies. Sei

$$ V = \left\{ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}}_{v_1} , \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}_{v_2} , \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}}_{v_3} \right\} $$

Diese Menge ist linear abhängig, denn

$$ 1 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 + (-1) \cdot v_3 = 0 $$

Nun nehmen wir die Teilmenge 

$$ U = \left\{ v_1 , v_2 \right\} \subset V $$

Diese Menge ist offensichtlich linear unabhängig, denn

$$ \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = 0 $$

wird nur durch \( \lambda_1 , \lambda_2 = 0 \) erfüllt.

Grüße Christian