Matrix als Vektor schreiben

Aufrufe: 1237     Aktiv: 10.12.2020 um 09:00
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Hi,

ich habe mal eine Frage, wieso kann ich die Matrix :

 

auch als Vektor  schreiben,

also was ist die mathematische Begründung hier, warum das geht? 

Man könnte meinen dass die beiden Vektorräume (der Matrix M1 und des Vektors M1) isomorph zueinander sind. Also sind sie identisch und  aus diesem Grund kann man die Darstellung der Menge frei wählen, ob in Vektordarstellung des R4 oder Matrixdarstellung R2X2.

Geht das in die richtige Richtung ?

Lg Maxi

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deine frage beantwortest du eigentlich schon ganz gut selbst, vermischst dabei aber ein paar dinge miteinander. generell gilt für jeden Körper \(K\), dass \( K^{n \cdot m} \cong K^{n \times m}\). versuch dir dafür mal einen isomorphismus zu überlegen.

Die beiden genannten elemente sind natürlich nicht direkt mengen. Aber klar, wegen des isomorphismus kann man die objekte auf beide arten schreiben ohne dass sich der sinn des ausdrucks ändert (zumindest solange der isomorphismus gegeben oder bekannt ist, da es mehrere möglichkeiten für die wahl eines isomorphismus gibt) - in dem sinne sind sie also identisch. wobei man natürlich gut aufpassen muss, da durch die verschiedenen schreibweisen die multiplikation mit diesem objekt je nach darstellung sehr unintuitiv sein könnte. 

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Student, Punkte: 2.33K

 
Okay, ich weiß nicht ob ich jetzt richtig liege.. ein anderer Ansatz vielleicht wäre, dass

wir haben einen Raum W mit unseren Matrizen 2X2 , da die Kriterien (Addition, skalare Multiplikation) erfüllt sind bildet W einen Vektorraum. Dazu haben wir einen Vektorraum V mit unseren Vektoren des R4. Ich müsste beweisen, dass die Abbildung von R2X2 -> R4 linear ist und bijektiv, damit der Isormorphismus erfüllt ist. Aber wie ?

Oder war der 1. Ansatz richtiger? :-D   ─   sokoviaaccords 08.12.2020 um 16:49
Oder kann ich einfach sagen:

R2X2 und R4 haben die gleiche Dimension, also liegt ein Isomorphismus vor R2x2≅R4 ?   ─   sokoviaaccords 08.12.2020 um 17:12
"wir haben einen Raum W mit unseren Matrizen 2X2 , da die Kriterien (Addition, skalare Multiplikation) erfüllt sind bildet W einen Vektorraum. Dazu haben wir einen Vektorraum V mit unseren Vektoren des R4. Ich müsste beweisen, dass die Abbildung von R2X2 -> R4 linear ist und bijektiv, damit der Isormorphismus erfüllt ist. Aber wie ?" das klingt schon ganz gut, was dir fehlt, ist eine lineare abbildung zwischen den beiden räumen. wie würdest du eine solche wählen? (im grunde ist die lineare abbildung durch 'umsortieren der matrixeinträge zu einem vektor' gegeben, aber am besten du überlegst dir mal eine konkrete abbildungsvorschrift)   ─   b_schaub 08.12.2020 um 17:14
ich muss nachweisen, dass
f(x+y) = f (x) + f(y)
f(Skalar*x) = Skalar * f(x) ist,

nur ich weiß noch noch nicht, wie ich das mit meiner Matrix 2X2 und einem meiner Vektoren des R4 nachweisen kann
Also damit weise ich nach dass die Abbildung linear ist und ich denke mal das ist der Schlüssel oder?   ─   sokoviaaccords 08.12.2020 um 17:17
der raum der matrizen ist ja in den einträgen linear und deshalb auch insgesamt ein vektorraum. genauso mit den \(\mathbb{R}^4\) vektoren. wichtiger ist es, den (bzw einen) isomorphismus zu finden   ─   b_schaub 08.12.2020 um 17:20
nenn mal einen konkreten kandidaten, der deiner meinung nach einen isomorphismus zwischen den beiden räumen bildet.   ─   b_schaub 08.12.2020 um 17:21
Leider gehen wir in unserem Skript nicht so tief auf linear Abbildungen ein, deswegen kann ich das nicht beantworten, trotzdem benötige ich irgendwie den Beweis oder Erklärung, warum ich R2x2 Matrizen als R4 schreiben kann.   ─   sokoviaaccords 08.12.2020 um 17:38
konkret ist der isomorphismus gegeben durch die abbildung \( \Phi : \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^4\) mit \(\Phi\left(\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\right) := \begin{pmatrix}
a \\ b\\
c \\ d
\end{pmatrix}\)

Man kann durch nachrechnen ermitteln, dass die abbildung sowohl linear als auch bijektiv ist. deshalb kann man die matrix als vektor schreiben oder umgekehrt   ─   b_schaub 08.12.2020 um 18:04
Aber wie gehe ich denn nun konkret vor, also wie sieht die Rechnung aus?
Wenn ich Matrix 2X2 {2(a),-2(b),1(c),-2(d)} und Vektor R4 {2,-2,1,-2} habe?
Tut mir leid, aber ich stehe da echt auf dem Schlauch   ─   sokoviaaccords 08.12.2020 um 18:19
ich glaube jetzt verhedderst du dich etwas. die mathematische begründung dafür den vektor auf die beiden arten schreiben zu können, ist wie erwähnt, dass eben \(\mathbb{R}^4 \cong \mathbb{R}^{2 \times 2} \). diese isomorphie gilt weil das genannte \(\Phi \) einen isomorphismus zwischen den beiden vektorräumen bildet.
Tatsächlich ist der isomorphismus sogar so gewählt, dass die matrix \(M_1\) durch \(\Phi\) auch wirklich auf den vektor \(M_1\) abgebildet wird.   ─   b_schaub 08.12.2020 um 19:21
Danke für deine ganze Hilfe, du hast dir deinen Schnaps verdient 😂
Besten Dank!!   ─   sokoviaaccords 10.12.2020 um 09:00

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