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Auch hier: einfach mal selbst probieren.
Wir suchen ein Potenzial \(u\) zu \(F\) (Def-Bereich ist konvex, "Rotation=0" ist erfüllt, also gibt es eines). Nun bitte selbst denken: Potenzial heißt so was wie Stammfunktion, es muss also \(\nabla u (x,y)=F(x,y)\) gelten, also
\(\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=3\,x^2\,y+2\,x,\quad \frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=x^3\).
Wir kennen also die partiellen Ableitungen von \(u\). Wenn wir die zweite Bedingung nach \(y\) integrieren, erhalten wir \(u\): \(u(x,y)=x^3\,y +C\). Die Integrationskonstante \(C\) kann aber von \(x\) abhängen, denn beim Ableiten nach \(y\) würde das ja auch wegfallen. Also wissen wir schon: \(u(x,y)=x^3\,y+h(x)\). Mit einer unbekannten Funktion \(h\). Um \(h\) zu bestimmen setzen wir in die erste Gleichung ein.
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