Surjektivität beweisen

Aufrufe: 765     Aktiv: 01.04.2020 um 21:04
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Hallo, Ich habe 

die Funktion f : \( \Bbb {R} \) \ {-4} \( \rightarrow \Bbb {R} \) \ {1}, x \( \rightarrow \) f(x) = \( \frac {x-2} {x+4} \) und soll die Injektivität und Surjektivität beweisen.

Injektivität habe ich schon, aber an der Surjektivität beiße ich mir die Finger aus.

Hier ist mein Ansatz bis jetzt:

y = \( \frac {x-2} {x+4} \)       | \( \cdot  \) (x+4)

y \( \cdot \) (x+4) = x-2       | +2

 x = y \( \cdot \) (x+4) + 2

 

Jetzt weiß ich nicht, wie ich hier ran beweisen soll, dass die Funktion surjektiv ist.

 

Danke

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Wir müssen alle \(x\) auf eine Seite bringen. Multiplizierst du auf der rechten Seite die Klammer aus und subtrahierst dann \(xy\), kommst du auf

\(x-xy=4y+2\Longleftrightarrow x(1-y)=4y+2\Longleftrightarrow x=\frac{4y+2}{1-y}\).

Da der Wertebereich die \(1\) nicht enthält, ist der Ausdruck für \(x\) für jedes \(y\in\mathbb W_f\) definiert, folglich haben wir für jedes \(y\) ein \(x\) mit \(f(x)=y\) gefunden und die Funktion ist surjektiv.

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Student, Punkte: 5.33K

 
Krass mega schlau mit dem subtrahieren von xy!!
Nochmal eine kurze Frage zur Injektivität
Ich habe einfach f(x1) = f(x2) gleich gesetzt und umgeformt bis x1 = xx2 rauskam, habe dabei dann zb auf beiden seiten mit (x+4) multipliziert. Darv ich das oder muss ich ich jede Seite mal (x1+4) und (x2 +4) nehmen? Danke sehr   ─   m0xpl0x 01.04.2020 um 12:25
Du kannst nicht mit \(x+4\) multiplizieren, denn in deiner Gleichung kommt ja überhaupt kein \(x\) vor, sondern nur \(x_1\) und \(x_2\). Du musst also sowohl mit \(x_1+4\) als auch mit \(x_2+4\) multiplizieren.   ─   sterecht 01.04.2020 um 13:51
Wie würdest du das denn rechnen? Ich habe beide seiten jeweils mit ( \( x_{1} \) +4 ) und ( \( x_{2} \) +4 ) multipliziert, aber bekomme es nicht hin, die seiten auf \( x_{1} = x_{2} \) zu kürzen   ─   m0xpl0x 01.04.2020 um 16:24
Wenn du jeweils die Nenner rauskürzt, steht da \((x_1-2)(x_2+4)=(x_2-2)(x_1+4)\). Wenn du jetzt alle Klammern ausmultiplizierst und dann \(x_1x_2\) subtrahierst und 8 addierst, bleibt nur \(4x_1-2x_2=4x_2-2x_1\) stehen. Jetzt nur noch \(+2x_1+2x_2\) rechnen und durch 6 teilen.   ─   sterecht 01.04.2020 um 17:11
Die Injektivität folgt auch daraus, dass du eindeutig nach x auflösen kannst. Der Beweis oben für die Surjektivität zeigt auch die Bijektivität.   ─   digamma 01.04.2020 um 17:14
Injektivität folgt daraus, dass wir zu \(x_1=x_2\) umformen konnten.   ─   sterecht 01.04.2020 um 17:25
Ah genau, danke dir, ich hatte versehentlich nochmal im Zähler den jeweiligen Nenner dazu multipliziert (richtig dumm ich weiß)   ─   m0xpl0x 01.04.2020 um 21:04

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