Die untere Schranke ist leicht: Die Summanden sind alle positiv und der erste Summand ist größer 1, nicht wahr?

Demnach ist die Folge der Partialsummen

\(A_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2\cdot \ln(k+1)}\)

übrigens auch monoton wachsend.

Die obere Schranke könnte man sicherlich mit der Majorante \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\) zeigen, wenn das erlaubt ist. Dabei muss der Summand \(k=1\) gesondert betrachtet werden. :-)

Demnach ist die Folge der Partialsummen monoton wachsend und beschränkt - und damit konvergiert sie (Siehe das vorgeschlagene Video).

Z.B. so: \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2 \ln(k+1)} = 1/\ln(2) +\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2 \ln(k+1)} < 1/\ln(2) +\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2 } = 1/\ln(2) + \pi^2/6 \)