Polynomdivision

Aufrufe: 1512     Aktiv: 11.06.2020 um 15:44
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Hallo,

ich muss ein Polynom in seine Linearfaktoren zerlegen. Die Nullstelle eines Polynoms bekomme ich in den meisten Fällen durch ausprobieren aus. Nun bin ich bei einem Polynom dritten grades angelangt und entweder mache ich einen Fehler oder ich finde in den ganzen Zahlen keine Nullstelle durch ausprobieren. Ein Internet Tool sagt mir das die Nullstelle eine rationale Zahl ist. Kann das sein? 

https://www.mathepower.com/nullstellen.php

Das Polynom 6 Grades:x^6-2x^5-7x^4+16x^3+8x^2-32x+16

Das Polynom 3 Grades: x^3+2x^2-4x+8

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die Nullstelle ist Voraussetzung für das weitere rechnen   ─   mathe1 11.06.2020 um 14:28
Gib uns bitte auch das dazugehörige Polynom, sonst wird es glaube ich schwierig dir eine hilfreiche Antwort zu geben   ─   julianb 11.06.2020 um 14:30
Wie lautet das Polynom?   ─   matheyogi 11.06.2020 um 14:30
Das Polynom lautet: x^3+2x^2-4x+8   ─   mathe1 11.06.2020 um 14:32
Die Nullstlle kann nur entweder ganzzahlig oder irrational sein. Es kommen also nur `+-1, +-2, +-4, +- 8` in Frage. Dieses Polynom hat keine ganzzahlige Nullstelle. Bist du sicher, dass die Plus- und Minus-zeichen alle stimmen?   ─   digamma 11.06.2020 um 14:43
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Du hast Dich verrechnet. Das Polynom 3. Grades lautet richtig: x^3-x^2-4x+4.

Das hat übrigens die gleichen Nullstellen wie das Ausgangspolynom. Die drei Nullstellen \(1, \pm  2\). sind alle doppelte Nullstellen.

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Lehrer/Professor, Punkte: 38.86K

 

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Hiho,

das Polynom 3. Grades hat tatsächlich keine ganzzahligen Nullstellen, mit Raten kommst du da also nicht weit.

Das Polynom 6. Grades x^6-2x^5-7x^4+16x^3+8x^2-32x+16 hingegen hat 3 wunderbar ganzzahlige Nullstellen. Da kannst du also mit Raten anfangen.

Hier mal ein Bild:

LG

Ben

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Student, Punkte: 410

 
ich habe mit dem Polynom 6 Grades angefangen und mich bis zum dritten Grad vorgearbeitet. Habe auch in den vorherigen schritten immer 0 herausbekommen.
Das Polynom 6 Grades:x^6-2x^5-7x^4+16x^3+8x^2-32x+16 so sieht meine Rechnung aus, habe ich irgendwo einen Fehler drin?

x^6-2x^5-7x^4+16x^3+8x^2-32x+16 Nullstelle durch ausprobieren=1 also Linearfaktor x-1
:x^6-2x^5-7x^4+16x^3+8x^2-32x+16 : x-1= X^5-1x^4-8x^3+8x^2+16x-16
Nullstelle des 5 Grades=2 Linearfaktor x-2
X^5-1x^4-8x^3+8x^2+16x-16 : x-2=x^4+3x^3-2x^2+4x+8
Nullstelle 4 Grades= -1 Linearfaktor x+1
x^4+3x^3-2x^2+4x+8 : x+1= x^3+2x^2-4x+8 In diesem Schritt bekomme ich keine Nullstelle raus.   ─   mathe1 11.06.2020 um 14:39
Hat man dir das Polynom 3. Grades vorgegeben oder bist du da selbst irgendwo draufgekommen? Es gibt schon Möglichkeiten rechnerisch vorzugehen, aber das wird etwas umständlich - undzwar mit den Cardanischen Formeln. Zu den letztgenannten würde dir dieser Link weiterhelfen: https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
EDIT:
Wie du oben im Bild am roten Graphen sehen kannst, sind die Nullstellen bei -2, 1 und 2. Das bedeutet, deine geratene Nullstelle ist richtig, die Nullstelle des Polynoms 5. Grades auch, aber danach hat sich ein Fehler eingeschlichen. Das Polynom 4. Grades lautet: x^4 + x^3 - 6x^2 - 4x +8   ─   matheyogi 11.06.2020 um 14:44
Wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, dann müssen die Teiler des Absolutterms sein, also kommen nur `+-1, +-2, +-4, +-8, +- 16` in Frage.   ─   digamma 11.06.2020 um 15:13
Wenn du mit dem Polynom 6. Grades angefangen hast, hast du dich irgendwo bei der Polynomdivision verrechnet.   ─   digamma 11.06.2020 um 15:16
Hier: `(x^5-1x^4-8x^3+8x^2+16x-16) : (x-2)=x^4+3x^3-2x^2+4x+8` musst du dich verrechnet haben. Zumindest zeigt Geogebra hier dann andere Nullstellen an.
Wolfram Alpha hat hier als Ergebnis: `x^4+x^3-6x^2-4x+8`   ─   digamma 11.06.2020 um 15:23

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