Lineare Abhängigkeit und Lineare Unabhängigkeit?

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Könnte mir einer lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit verständlich erklären ? Am besten anhand 2 Beispiele mit Matrizen.

Vielen Dank 

lg 

gefragt vor 6 Monaten, 2 Wochen
t
anonym,
Student, Punkte: 130

 
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1 Antwort
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Definition linear Unabhängigkeit: Sei V ein K-Vektorraum. Eine endliche Familie \((v_{1},..., v_{r})\) von Vektoren aus V heisst linear unabhängig, falls gilt: Sind \(\lambda_{1},..., \lambda_{r}\)  K und ist 

\(\lambda_{1} * v_{1} + ... + \lambda_{r} * v_{r} = 0\), 

so folgt \(\lambda_{r} = ... = a_{r} = 0\)

So nun was heisst das jetzt. Wenn wir eine Familie von Vektoren gegeben haben, sind diese genau dann linear unabhängig, wenn alle \(\lambda_{i} = 0\) sind i = 1, ..., r. Wenn z.B zwei der Koeffizienten nicht Null wären und die Summe trotzdem den Nullvektor ergeben würde, dann würde das heissen, dass die beiden Vektoren linear abhängig waren, da der eine gerade eine Linearkombination des anderen war.

Beispiel: (\(v_{1}\), \(v_{2}\), \(v_{3}\), \(v_{4}\)  \(V\) = \(R^{3}\) , \(v_{1}\) = (1, 0, 0) , \(v_{2}\) = (0, 1, 0) , \(v_{3}\) = (0, 0, 5), \(v_{4}\) = (4, 3, 0)

Wir können den Vektor \(v_{4}\) bauen mittels \(v_{1}\), \(v_{2}\)    \(v_{4}\) = 4 * \(v_{1}\) + 3 * \(v_{2}\), die Menge (\(v_{1}\) , \(v_{2}\), \(v_{4}\)) ist also linear abhängig. Den Vektor \(v_{3}\) können wir aber nicht mittels \(v_{1}\) und \(v_{2}\) bauen, also ist die Menge (\(v_{1}\) ,\(v_{2}\) , \(v_{3}\) ) linear unabhängig.

Mit Hilfe von Matrizen kann man ein lineares Gleichungssystem einfach lösen und so herausfinden, ob eine Menge von Vektoren linear abhängig sind.

So hab vergessen die Befehle zu markieren, hoffe so ist es übersichtlicher.

Gruss

 

 

geantwortet vor 6 Monaten, 2 Wochen
m
michael linalg
Punkte: 140
 

Oder bisschen mehr in Alltagssprache:
Wenn du einen Vektor \( v_1 \) durch z.B. eine Summe aus \( v_2,v_3\) mit geeigneten Vorfaktoren darstellen kannst, dann ist \( v_1\) linear abhängig. Falls das nicht geht, dann ist es linear unabhängig.
  ─   gardylulz, vor 6 Monaten, 2 Wochen
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