Wenn du nur schauen willst OB die Folge konvergiert musst du ein Konvergenzkriterium anwenden. Da gibts ne riesen Auswahl, kommt drauf an was ihr gemacht habt.

Hier mal ne Liste: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium#Konvergenzkriterien_f%C3%BCr_Reihen

Da geht es dann darum gut im Umformen zu sein um das Ergebnis zu erkennen.

Wenn du Probleme hast kann ich dir vielleicht auch das Ergebnis ausrechen, bin nicht mehr ganz fit auf dem Gebiet.

Hier mal die Lösung mit dem Qutientenkriterium.

Zuerst musst du

\(\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|\) 

berechnen.

Es ist

\(a_k=\dfrac{3k^3+6k}{k!}\)

und

\(a_{k+1}=\dfrac{3(k+1)^3+6(k+1)}{(k+1)!}\)

Damit gilt:

\(\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left| \dfrac{3(k+1)^3+6(k+1)}{(k+1)!}\cdot\dfrac{k!}{3k^3+6k} \right|\)

Es gilt

\(\dfrac{k!}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k+1}\)

und damit

\(\left| \dfrac{3(k+1)^3+6(k+1)}{(k+1)!}\cdot\dfrac{k!}{3k^3+6k} \right|=\left| \dfrac{3(k+1)^3+6(k+1)}{(k+1)(3k^3+6k)} \right|\)

Hier können wir \((k+1)\) kürzen:

\(\left| \dfrac{3(k+1)^3+6(k+1)}{(k+1)(3k^3+6k)} \right|=\left|\dfrac{3(k+1)^2+6}{3k^3+6k} \right|\)

Du kannst für die Übersicht noch \(3\) kürzen. Du bekommst:

\(\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\dfrac{k^2+2k+3}{k^3+2k}\right|\)

Jetzt sagt das Quotientenkriterium: Die Folge konvergiert wenn gillt:

\(\limsup\limits_{k\to\infty}\left| \dfrac{a_{k+1}}{a_k} \right|<1\)

Und das gilt für den oben berechneten Quotienten, denn der Grad des Polynoms im Nenner ist höher als der des Polynoms im Zähler.

Fazit: Die Folge konvergiert.