Hallo davido, 

deine Schritte gehen in die richtige Richtung. Den Definitionsbereich zu bestimmen ist grundsätzlich sinnvoll, da du so überprüfen kannst, ob die gefundenen Extremstellen überhaupt in Definitionsbereich liegen. 

Die Symmetrie musst du nicht zwingend untersuchen. Da dir das aber ja nur was bringt, wenn die Funktion eine Symmetrie aufweist, würde ich zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen. Sollten die Nullstellen symmetrisch um die Null liegen, dann kannst du dir die Symmetrie von \( f(x) \) anschauen. 

Jetzt zur eigentlichen Frage: Die zweite Ableitung benötigst du ja, um zu bestimmen, ob ein Maximum, eine Minimum, oder ein Treppenpunkt vorliegt. Das kannst du auch über die das Vorzeichen erste Ableitung machen. Bei einem Extrempunkt wechselt nämlich die Steigung ihr Vorzeichen. D.h. vor dem Maximum muss die Funktion steigen, danach fallen, also die erste Ableitung von + zu - wechseln. Beim Mininum ist es genau anders herum. Bei einem Treppenpunkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht, denn die Funktion steigt bzw. fällt ja vor und nach dem Treppenpunkt. Ich hoffe das hilft ;)