Hallo :-) Womöglich gibt es mehrere Wege wie man das Problem lösen kann, ich wähle folgenden:

Zur Bestimmung der Koordinatengleichung von E fehlt ein Normalenvektor dieser Ebene, ein Punkt (R) ist ja bekannt. Da bei der Reflektion der Lichtstrahlen Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel gilt, wäre die Richtung der Winkelhalbierenden von \( \vec {RP}\) und \( \vec {RQ}\) auch die Richtung des gesuchten Normalenvektors. Deshalb bestimme ich einen Punkt auf dieser Winkelhalbierenden. Da \( \vec {RP}\) und \( \vec {RQ}\) allerdings unterschiedliche Längen haben, bestimme ich zunächst einen Punkt \(Q'\), sodass die Beträge von \( \vec {RP}\) und \( \vec {RQ'}\) gleich sind. Dann kann ich einfach den Mittelpunkt \(M_{Q'P}\) zwischen \(Q'\) und \(P\) bestimmen und mit diesem sowie dem Punkt \(R\) danach den gesuchten Normalenvektor.

Es gilt \( \vec {RP}=\left(\begin{array}{c} 9 \\ 6 \\ -15 \end{array}\right) \) und \( \vec{RQ} =\left(\begin{array}{c} -2 \\ 12 \\ -2 \end{array}\right) \) und es gilt: \( |\vec {RP}|=\sqrt{342}\) und \( |\vec {RQ}|=\sqrt{152}\)

Also gilt: \( \vec {OQ'}= \vec {OR}+\sqrt{\frac{342}{152}}\cdot \vec{RQ}\) und das ist:

\(\vec{OQ'}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)+1,5\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 12 \\ -2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 19 \\ 1 \end{array}\right)\)

Mit \(Q'(2/19/1\) ergibt sich der Mittelpunkt zwischen Q' und P, also \(M_{Q'P}(8/13/-5)\) und als Normalenvektor von E dann:

\(\vec n = \vec{M_{Q'P}R}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ -12 \\ 9 \end{array}\right)\) Da hier nur die Richtung wichtig ist, kann man diesen noch dritteln und umkehren, und als Normalenvektor zum Beispiel den Vektor \(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right)\) verwenden. Zusammen mit Punkt R sollte die Koordinatengleichung nun kein Problem mehr sein.

Nachvollziehbar? Hoffe, ich hab nicht allzu viele Tippfehler eingebaut! :-)