Hallo Alisa,

hier ist gefragt, ob man aus den Bedingungen links die Aussage rechts folgern kann.

Also bei a) ob man aus "f * g nicht diffbar in x0" schließen kann, dass f oder g in x0 nicht diffbar ist.
Bzw. bei b) ob man die "Gegenrichtung" folgern kann (die Aussagen sind ja hier nur vertauscht), also dass aus "f oder g in x0 nicht diffbar" folgt, dass f * g nicht diffbar in x0.

In der Vorlesung wurden sicher Bedingungen behandelt, unter welchen Umständen f * g diffbar ist. Diese sind hier mit Hilfe von logischen Umformungen anzuwenden.

Anmerkung: Man verwendet für solche Betrachtungen auch die Begriffe "hinreichend" und "notwendig", d.h. falls a) gelten sollte, dann ist f * g diffbar "hinreichend" (d.h. "daraus folgt" bzw. "=>") für die Aussage auf der rechten Seite, und falls b) gelten sollte, dann ist f * g diffbar "notwendig" (d.h. "falls" bzw. "<=") für die andere Aussage. Sollten a) UND b) richtig sein, dann ist "f * g diffbar" notwendig UND hinreichend, was man als "genau dann wenn" ("<=>") bezeichnet.

Hallo Alisa,

sorry, ich war überzeugt, dass ihr die Differzierbarkeit von f*g schon in der Vorlesung gehabt hättet, und die Aufgabe sich darauf beziehen soll.
Na dann ist es sehr viel aufwändiger. 

Dass Du eine Behauptung hast, ist schon mal gut! Dann können wir darauf abzielen.

Dann brauchen wir die exakte Definition von differenzierbar aus Deiner Vorlesung.
Ich vermute, dass der Differentialquotient exisitieren muss? Habt ihr noch was anderes, woraus diffbar folgen würde?
Generelles Vorgehen bei Aufgaben im Mathe-Studium: Als erstes alle Definitionen raussuchen (und ggfs. einsetzen) und alle Sätze, die man auf die Voraussetzung anwenden kann, oder mit denen man die Behauptung folgern kann.

LG

Deinen Ansatz, die Definition auf (f*g)' anzuwenden, finde ich sehr gut!

Dass Du unsicher bist, macht nichts. Man muss ja eben den Stoff intensiv durchkauen - und auch Irrwege ausprobieren - bis man ihn für Prüfungen nutzen kann!

Gut wäre, wenn Du in dem Diff-Quotienten von f*g die Diff-Quotienten von f und von g innerhalb finden könntest. Dann könnte man konkrete Aussagen machen.
Schau Dir den Beweis der Produktregel an. Wenn man diesen nachvollzieht, müsste man bereits die nötigen Argumente finden können.

Im Beweis zu Satz 21.5 3) (Produktregel) ist enthalten, dass der Diff-Quotient von f*g existiert, dadurch haben wir also implizit, dass f*g diffbar.

Der Satz sagt also f, g diffbar => f*g diffbar.
Daraus folgt logisch f*g nicht diffbar => f oder g nicht diffbar.
Es folgt aber NICHT die umgekehrte Richtung, da wir im Satz auch nur EINE Implikationsrichtung haben!

Kann man sich Funktionen überlegen, mit denen durch das Produkt die Nicht-Konvergenz eliminiert wird?

Man muss hier genau auf die formulierten Aussagen achten, sonst kommt man leicht auf Glatteis.

Für a) hilft es zu wissen, dass \((A\Longrightarrow B)\iff (\neg B\Longrightarrow \neg A)\) gilt.

Für b) empfiehlt es sich zu überlegen, ob es möglich ist, aus nicht differenzierbaren Funktionen durch Produktbildung differenzierbare zu basteln. Geeignete Funktionen kennst du ja offensichtlich. Probiere das mit konkreten Funktionen aus. Achte darauf, dass die Ergebnisse eindeutig differenzierbar bzw. nicht differenzierbar sind, damit man nicht sagen muss "müsste eigentlich sein" oder so.