Bijektiv ist es natürlich dann wenn es injektiv und surjektiv ist.

Injektiv: Wenn du zwei verschiedene x (z.B. x1 und x2) aus deiner Definitionsmenge M auf zwei *unterschiedliche* Funktionswerte f(x) in der Wertemenge abbilden kannst, ohne dass diese gleich sind. sprich wenn sie gleich sind müssen auch die Funktionswerte gleich sein x1 = x2 → f(x1) = f(x2). Oft kannst du hier mit einem Gegenbeispiel arbeiten.

Surjektiv: Für ALLE y aus deiner Wertemenge/Zielmenge N soll sich mindestens ein x finden (Urbild). Wenn du ein y nicht abbilden kannst ist es nicht Surjektiv (Gegenbeispiel)

Eine bijektive Menge ist umkehrbar, besser gesagt, es existiert eine umkehrfunktion f -¹()

Die hintereinanderausführung, sprich die Abbildung von A nach B, entspricht dabei einer Identität (engl. id für identity).

Schau dir dazu am besten einmal folgende Videos an, die dir gute Beispiele liefern :

es geht in dem lemma ja darum, dass man ein verständnis dafür bekommen will was es bedeutet wenn es eine bijektion zwischen zwei mengen gibt 

an sich ist die idee ja nicht schwer sondern viel mehr die formale ausführung vom beweis: wenn \(A\) und \(B\) gleichmächtig sind, könnte man ja auch einfach annehmen \(A=B=[n]\) ohne dass es einen unterschied für \(|Bij([n],A)|\) bzw \(|Bij([n],B)|\) machen würde, weil ja die elemente nur anders heißen aber das ist ja egal wenn man sich am ende eh nur für die mächtigkeiten interessiert.

Wenn du dir das diagramm anschaust, kannst du feststellen, dass \(\beta \circ \alpha^{-1}\) eine bijektion von \(A\) nach \(B\) ist weil ja verkettung von injektiven funktionen injektiv bleibt bzw verkettung von surj fktn bleibt surj. 

jetzt wollen wir ja zeigen dass \(f\) bijektion ist  - dafür ist auf jeden fall schon mal hilfreich zu wissen dass \(\beta \circ \alpha^{-1}\) die genannten eigenschaften hat, weil deswegen dann wieder mit selber begründung wie vorher (weil ja auch \(\phi\) bijektiv ist) gezeigt werden kann, dass \(\beta \circ \alpha^{-1} \circ \phi \) zumindest schon mal in der menge \(|Bij([n],B)|\) liegt. also ist \(f\) woholdefiniert.

jetzt nutzen wir aus, dass \(f\) genau dann bijektion ist wenn \(f\) eine umkehrfunktion hat und 'sehen' die umkehrfunktion auch direkt (es kommt also darauf hinaus dass \(g = f^{-1}\))
dass nämlich \(g\circ f = id\) ist, ist nur noch rechnung bzw nutzt assoziativität von funktionskomposition.  

Ich hoffe das hilft dir ein bisschen beim verständnis von dem beweis, du kannst auch gerne feedback geben falls ich etwas nicht so gut erklärt hab