Question

Differentialgleichung

Aufrufe: 425 Aktiv: 09.01.2021 um 19:04

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Wie definiere ich den Differentialquotienten (momentane Änderungsrate), ausgehend vom Differenzquotienten (Mittlere Änderungsrate) unter Verwendung eines intuitiven Grenzwertbegriffs.

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gefragt 09.01.2021 um 18:33

hallo0987
Punkte: 10

Freut mich dass dir meine Antwort weitergeholfen hat :). Willst du die Antwort dann noch akzeptieren (einmal auf den Haken neben der Antwort), sodass andere Helfer wissen dass diese Frage bereits beantwortet ist? ─ mrswindy 09.01.2021 um 19:04

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1 Antwort

mrswindy · Answer 1 · 2021-01-09T18:59:19Z

Zitat von https://abiturma.de/mathe-lernen/analysis/ableitung/mittlere-und-momentane-steigung

Die durchschnittliche/mittlere Änderungsrate für eine Funktion $f Mathe-Abitur$ in einem Intervall $I=[a; b] Mathe-Abitur$ entspricht der Steigung der Gerade, die durch die zwei Punkte $\KP[A]{a,f(a)} Mathe-Abitur$ und $\KP[B]{b,f(b)} Mathe-Abitur$ verläuft. Man spricht hier auch von der Sekantensteigung. Sie lässt sich entsprechend der Betrachtung im Steigungsdreieck über den Differenzenquotienten berechnen.
$\begin{center}\begin{tikzpicture}[schaubild]\begin{axis}[skaliere achsen=.9 and .9,ymin=0,ymax=2... Mathe-Abitur$
Also: Mittlere Änderungsrate = Steigung der Sekante = Differenzenquotient ("Quotient aus Differenzen")
Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Falls der Grenzwert existiert, gilt
$\begin{align}f'(a)=\lim\limits_{b \gegen a}{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}.\end{align} Mathe-Abitur$
Der Punkt $\KP[B] Mathe-Abitur$ rückt dabei immer näher an den Punkt $\KP[A] Mathe-Abitur$ heran, sodass mit der Ableitung dann die Steigung der Tangente an den Graphen von $f Mathe-Abitur$ im Punkt $\KP[A] Mathe-Abitur$ angegeben wird.
$\begin{center}\begin{tikzpicture}[schaubild]\begin{axis}[skaliere achsen=.9 and .9,ymin=0,ymax=2... Mathe-Abitur$
Also: Ableitung = Momentane Änderungsrate = Steigung der Tangente = Differentialquotient (Grenzwert des Differenzenquotienten)
Von einer Änderung spricht man, wenn man nur eine einzelne Variable betrachtet.
Von einer Änderungsrate spricht man, wenn die Änderung einer (abhängigen) Variable $y Mathe-Abitur$ in Beziehung (Größenverhältnis) zu der Änderung einer (freien) Variable $x Mathe-Abitur$ gesetzt wird.

also das ist die Definition der mittleren Änderungsrate und der momentanen Änderungsrate. Was genau der "intuitive" Grenzwertbegriff ist weiß ich nicht, auch bei einer Internetsuche habe ich diesen Begriff nirgends gefunen. Ich finde die Frage etwas seltsam formuliert, deswegen weiß ich nicht ob ich das Problem richtig verstanden habe, aber vielleicht hat dir das ja weiter geholfen :).