Hi,

also alles mal der Reihe nach:

Die 1. Ableitung beschreibt die Steigung so wie du es sagst.

Zwischen Sekante und Tangente gibt es einen wichtigen Unterschied.

Tangente:

Wenn man von der Tangente im Punkt \((x_0,f(x_0))\) der Funktion \(f(x) \) spricht, dann ist damit eine Gerade \(g(x)\) gemeint, die in dem oben genannten Punkt den gleichen Wert und Steigung wie \(f(x)\) hat. Es gilt also \( f(x_0)=g(x_0) \) sowie \( f'(x_0)=g'(x_0) \). Die Tangente schneidet bzw. hier spricht man von berührt den Graphen \( f\) im Punkt \( (x_0,f(x_0)\)).

Die Funktionsgleichung für die Tangente lässt sich leicht angeben mit:

\( g(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \)

Die Sekante, nennen wir sie einfach \( s(x) \), hingegen schneidet den Graphen \( f \) in zwei Punkten. Diese gibt nicht die Steigung von \( f(x)\) an, sondern die durchschnittliche Steigung zwischen den zwei Punkten, nennen wir sie \( (x_1,f(x_1))\) und \( (x_2,f(x_2)) \). Die Steigung der Sekante ist somit durch den Differenzenquotient gegeben.

\( s'(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \)

Ob eine Funktion differenzierbar ist kann man einfach durch die Definition der Ableitung überprüfen. (Das \( \pm \) beschreibt rechts- bzw. linkseitiger Grenzwert.)

\( f'(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x\pm h)-f(x)}{h}\)

Wenn rechts- als auch linksseitiger Grenzwert gleich sind, dann ist diese Funktion (im Punkt \( x_0 \))  differenzierbar. So ist z.B. die Betragsfunktion \( h(x)=|x| \) im Nullpunkt nicht differenzierbar, da du unterschiedliche links- und rechtsseitige Grenzwerte erhälst.

Und zuletzt noch:

Wählst du bei der Sekante den Punkt \( x_2\) sehr nahe bei \( x_1 \), d.h. "\( x_1\) + ein wenig mehr" was sich als \( x_2 = x_1+h \) schreiben lässt und den Grenzwert \( h\) gegen Null bildest, dann geht vereinfacht gesagt die Sekante in die Tangente über.

In Deiner Frage merkt man, dass da was durcheinander geht. Man kann nicht die "Steigung eines Punktes" bestimmen. Ein Punkt hat keine Steigung.

Man kann die Steigung einer Geraden bestimmen (Schulmathematik, Steigungsdreieck zwischen zwei beliebigen Punkten, denn eine Gerade hat überall die gleiche Steigung).

Man kann die Steigung einer Kurve ZWISCHEN ZWEI PUNKTEN der Kurve bestimmen: und zwar als die Steigung der Geraden, die diese beiden Punkte verbindet (diese Gerade nennt man Sekante zwischen den beiden Punkten). Bei einer (krummen) Kurve kommt dann aber jedesmal ne andere Steigung raus, wenn man zwei andere Punkte wählt. 

Man kann die Steigung einer Kurve IN EINEM PUNKT bestimmen (diese Steigung heißt Ableitung in diesem Punkt). Dazu nimmt man eine Sekante (s.o.) mit diesem einen Punkt und einem beliebigen zweiten Punkt auf der Kurve. Dann lässt man den zweiten Punkt auf den ersten Punkt hin rutschen, dadurch verändert sich die Sekante natürlich und damit die Steigung. Diese Steigung läuft (hoffentlich, nämlich dann wenn f differenzierbar ist) auf eine feste Zahl zu. Das ist dann die Steigung des Kurve in diesem einen Punkt.

Alles klar?

Es geht ja letztlich darum, dass man mit dem Sekanten - Ding, das gegen x0= 0 läuft , auf die Tangente hingeführt wird, was dann letztlich die 1 . Ableitung sein wird. Es ist quasi in der Schulmathematik die Herleitung zur 1 . Ableitung . Schau mal das Video ... da wird es dann deutlich .