Hallo Carolin,

das folgt direkt aus dem sogenannten "Lebesguesche Integrabilitätskriterium". 
Die komplette Begründung erfordert fast die komplette Analysis II-Vorlesung. Du brauchst also irgendeinen Ausgangspunkt, um die Frage in diesem Rahmen hier zu beantworten.

Du müsstest in dem Stoff, mit dem Du gerade arbeitest, irgendeinen Satz haben in der Art, dass eine Funktion Riemann-intergrierbar ist, falls sie nur auf einer Nullmenge nicht stetig ist. Nun, wenn sie überall stetig ist, dann ist das ja erfüllt :-)
Schau mal diese Sätze in Deinen Unterlagen nach! Ich bin sicher, dort ist die Erklärung zu finden.

Von der Vorstellung her (nur umgangssprachlich!): Wenn die Funktion nur auf einer irrelevanten Menge "abhaut", dann kann man sie immer noch sinnvoll integrieren. Wenn sie stetig ist, haut sie auf einer kompakten Jordan-messbaren Menge gar nicht ab.