Die allgemeine Lösung einer DGL mit Störfunktion setzt sich meiner Meinung nach aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und der partikulären Lösung der inhomogenen DGL zusammen. Heißt es eigentlich \(y_{h}\) oder \(y_{n}\)? Sehe oft unterschiedliche Indexe.
\(y=y_{h}+y_{p}\)
Für die allgemeine Lösung der homogenen DGL setze ich das charakteristische Polynom gleich 0 und bekomme abhängig vom Wert der Diskriminante einen der drei Ansätze für die allgemeine Lösung \(y_{h}(x)\).
Der Ansatz für die partikuläre Lösung \(y_{p}(x)\) richtet sich nach der Störfunktion.
Ich weiß, dass ich die Ableitungen von \(y_{p}(x)\) in die DGL einsetze und die Parameter von \(y_{p}(x)\) mittels Koeffizientenvergleich bestimmen kann.
Aber welchen Ansatz muss ich wählen? Bitte zeigt mir den Ansatz für \(y_{p}(x)\) bei den verschiedenen drei Typen der Störfunktionen, damit ich ein Gefühl dafür bekomme und noch ein paar Übungsaufgaben rechnen kann:
Eine ausgedachte Differentialgleichung: \(y''+y = S(x)\). Ich weiß nicht, ob die DGL mithilfe der Störfunktionen aufgeht. Es geht mir nur um den korrekten Ansatz der partikulären Lösung.
\(S(x)=2x^2+4\)
\(S(x)=3x+e^{2x}\)
\(S(x)=2*cos(x)*x\)
Lieben Dank! :)