Ableitung Differenzialquotient

Aufrufe: 511     Aktiv: 21.11.2020 um 18:45
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Hallo,

ich stehe grad etwas auf dem Schlauch und zwar geht es um folgende Funktion g:

 g(x) = x^2 + 1, falls x >= 0 und 1, falls x < 0 (keine Ahnung wie ich eine geschweifte Klammer mache)

Ich wollte das jetzt mit dem Differenzialquotient ableiten und zwar für x > 0, also mit

lim (g(x) - g(x_0)) / (x - x_0) wenn x gegen x_0 geht.

Wenn ich da jetzt die Funktion einsetze steht bei mir im Zähler vom Bruch: (x^2 + 1) - (x^2+1) was offensichtlich Null ergibt und damit auch der limes. Aber das richtige Ergebnis sollte ja offensichtlich 2x sein. Kann mir jemand helfen was ich falsch mache? Danke

 

 

 

 

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Kleiner Denkfehler: \( g(x_0) \) ist \( x_0^2+1 \) und nicht \( x^2+1 \), also wird der Zähler gar nicht Null. Tatsächlich steht dann im Zähler (nach Anwendung der dritten binomischen Formel) \( (x-x_0)(x+x_0) \) und das lässt sich wunderbar mit dem Nenner kürzen. Als Ergebnis erhält man dann \( 2x_0 \).

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Student, Punkte: 7.02K

 
okay das der Zähler nicht null wird ist mir klar, nur wie hast du da dritte binomische Formel angewednet?
ich habe im Zähler (x-x_0)(x+x_0) + 2 stehen und das kann ich ja nicht kürzen wegen der 2.
   ─   sorcing 21.11.2020 um 17:54
Du hast dich verrechnet. Die Einsen addieren sich nicht, sondern heben sich auf. Im ersten Term \( g(x) \) wird eine Eins addiert und im zweiten Term \( - g(x_0) \) wird die Eins subtrahiert.   ─   42 21.11.2020 um 18:45
Beachte: \( -g(x_0) = -( x_0^2 + 1) = -x_0^2 - 1 \)   ─   42 21.11.2020 um 18:45

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