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Fragen sind in rot hervorgehoben:

gegeben ist die Folge an = Wurzel(n^2 - n)

nun soll diese Folge auf ihr Monotonieverhalten und ihre Beschränktheit untersucht werden.

Monotonie

Da es sich um eine geometrische Folge handelt, untersuchen wir an+1 / an, ob es größer bzw. kleiner 1 ist //sind alle Folgen mit einer Wurzel geometrische Folgen?

an+1 = Wurzel((n+ 1)^2 - (n + 1))

= Wurzel(n^2 + 2n + 1 - n - 1)

= Wurzel(n^2 + n)

also:

an+1 / an = Wurzel(n^2 + n) / Wurzel(n^2 - n)

= Wurzel( (n^2 + n) / (n^2 - n) )

und ab hier komme ich nicht weiter

in der Lösungs steht dann:

= Wurzel( (n^2 - n + 2n) / (n^2 - n) ) //(den Schritt kann ich noch nachvollziehen)

= Wurzel( 1 + 2 / (n^2 - n) ) //???

= Wurzel( 1 + 2 / n(n - 1) ) > 1 //ok, aber warum klammern wir n aus und warum können wir jetzt darauf schließen dass das auf jeden Fall größer als 1 ist?

Beschränktheit

an = Wurzel(n^2 - n) = Wurzel( n(n - 1) ) ist nicht beschränkt //warum kann hier so schnell auf die Beschränktheit geschlossen werden?

Vielen Dank für eure Unterstützung!

gefragt 1 Tag, 21 Stunden her
mrswindy
Student, Punkte: 212

 
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2 Antworten
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Moin mrswindy.

Zur Monotonie:

\(\sqrt{\dfrac{n^2-n+2n}{n^2-n}}\)

Hier ist in der Lösung bei der nächsten Umformung etwas schiefgelaufen, denn:

\(\sqrt{\dfrac{n^2-n+2n}{n^2-n}}=\sqrt{\dfrac{n^2-n}{n^2-n}+\dfrac{2n}{n^2-n}}=\sqrt{1+\dfrac{2n}{n^2-n}}=\sqrt{1+\dfrac{2n}{n(n-1)}}=\sqrt{1+\dfrac{2}{n-1}}\)

In der Lösung heißt es ja \(2\) anstelle von \(2n\), das ist verkehrt. Der Ausdruck ist größer als \(1\), da für \(n>1\) (\(n=0, \ n=1\) musst du extra betrachten), da der Ausdruck innerhalb der Wurzel immer größer ist als \(1\). Ziehst du die Wurzel aus einem Ausdruck größer \(1\), ist diese auch immer größer \(1\).

 

Für die Beschränktheit kannst du dir in dem Fall den \(\lim_{n\rightarrow \infty}\) anschauen. Vielleicht siehst du das besser, wenn du \(a_n\) umformst zu \(a_n=\sqrt{n^2-n}=\sqrt{n^2(1-\frac{1}{n})}=n\sqrt{1-\frac{1}{n}}\)

 

Grüße

 

 

geantwortet 1 Tag, 21 Stunden her
1+2=3
Student, Punkte: 6.58K
 

Vielen Dank für die Ausführliche Antwort zu so später Stunde :) - dank den beiden Antworten hat sich die Aufgabe für mich geklärt   ─   mrswindy 1 Tag, 20 Stunden her

ich bin gerade frustriert weil ich nicht beide Antworten akzeptieren kann -_-, obwohl mir beide weiter geholfen haben   ─   mrswindy 1 Tag, 20 Stunden her
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Eigentlich ist das - meiner Auffassung nach - keine geometrische Folge, da der Quotient der Folgenglieder ja nicht konstant ist. Der hängt ja ganz offensichtlich von \(n\) ab! 

Du ziehst den Zähler auseinander, so dass du den einen Bruch dann kürzen kannst. Aber beim zweiten müsste doch dann \(2n\) stehen...

Dann würde auch das ausklammern Sinn ergeben, weil man dann durch \(n\) kürzen kann. Und warum das ganze dann größer als 1 ist, ist doch klar. Wenn du irgendetwas positives zu 1 dazu addierst, dann ist es echt größer als 1. Das gilt natürlich auch für die Wurzel, denn die Wurzelfunktion ist monoton wachsend.

Die Wurzelfunktion ist nicht beschränkt. Sowas weiß man oder hat man sogar mal bewiesen. Aber so etwas darf man durchaus benutzen. 

Konnte ich damit schon einiges klären?

geantwortet 1 Tag, 21 Stunden her
cauchy
Selbstständig, Punkte: 3.38K
 

vielen Dank für die schnelle Antwort zu so später Stunde :) - dank den beiden Antworten hat sich das jetzt für mich geklärt   ─   mrswindy 1 Tag, 20 Stunden her

ich bin gerade frustriert weil ich nicht beide Antworten akzeptieren kann -_-, obwohl mir beide weiter geholfen haben   ─   mrswindy 1 Tag, 20 Stunden her
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