Du kannst hier die Monotonie ohne Ableitung nachweisen. Für \(x,y \in (1,2) \) mit \(x>y\) erhält man zunächst

\( x^3 - y^3 \) \( = (x^2+xy+y^2)(x-y) \) \( > (1^2+1 \cdot 1 + 1^2)(x-y) \) \( = 3(x-y) \)

und (mit dritter binomischer Formel)

\( \sqrt{y^2+1} - \sqrt{x^2+1} \) \( = \frac{(y^2+1)-(x^2+1)}{\sqrt{y^2 + 1} + \sqrt{x^2+1}} \) \( = - \frac{x+y}{ \sqrt{y^2 + 1} + \sqrt{x^2+1}}(x-y) \) \( > - \frac{2+2}{1+1}(x-y)\) \( =-2(x-y) \)

Hieraus folgt dann

\( x^3 - \sqrt{x^2+1} - (y^3 - \sqrt{y^2+1}) \) \( = x^3 - y^3 + \sqrt{y^2+1} - \sqrt{x^2+1} \) \( > 3(x-y) - 2(x-y) \) \( = x-y > 0 \)

Es ist schwierig, das so auszurechnen. Zeige lieber, dass die Funktion auf dem Intervall streng monoton steigt, z.B. indem du untersuchst, ob die Ableitung immer positiv ist.