Das erste Problem scheint hier die Bezeichnung der Aufgaben zu sein. :-) Aufgabe a in Übung 19 ist die Normale, und die wurde ja im Heft unter b) bereits gelöst. Demnach ist die eigentliche Aufgabe b, Bestimmung der Funktion, das Problem.

Bei der Bestimmung der Gleichung von f sind zwei Unbekannte zu bestimmen. Dafür braucht es zwei Gleichungen.

Du hast dagegen nur mit einer Gleichung gearbeitet: f'(1)=4 Du hast entsprechend eingesetzt, nach b aufgelöst, um das dann in dieselbe Gleichung wieder einzusetzen. Das kann nicht funktionieren. :-)

Du brauchst eine zweite Gleichung, und die kannst du mit f(1)=6 aufstellen. (Berührpunkt der Tangente, berechnet für die andere Aufgabe).

Da kannst du dann die nach b umgestellte andere Gleichung einsetzen. Oder das Gleichungssystem auch anders lösen. :-)

Die Normale ist ja die Senkrechte auf die Tangente , deren Gleichung du hast. Was passiert mit der Steigung m, die vor dem x steht ? Zeichne es dir ruhig auf . Deine Tangente hat die Steigung +4 . Was braucht jetzt die Normale? 
dann kannst du x einsetzen und den y -Achsenabschnitt bestimmen, indem du schaust , dass die Gleichung stimmt . Deine Normale hat also die Form: y = m' * x + b. Für x den Wert eingesetzt und dein y ist herauszubekommen, indem du den x wert - x = 1 entweder in die Ausgangsfunktion oder die Tangente einsetzt, denn alle beiden und auch die gesuchte Normale laufen da ja durch .