Abbildung von \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) Injektivität und Surjektivität

Aufrufe: 702     Aktiv: 24.10.2020 um 19:38
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Habe folgende Funktion: \(f = \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3; (a,b) \rightarrow (a^2, a+b, b)\)

Um die Abbildung auf Injektivität zu überprüfen, muss man ja schauen, ob \(f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \to a_1 = a_2 \text{ und } b_1 = b_2\)

Aber das \(\mathbb{R}^3\) irritiert mich ein wenig, benötigt es da noch ein drittes Element?

Angenommen: \(f(a_1, b_1)=f(a_2, b_2)\) und ich will \( a_1 = a_2 \text{ und } b_1 = b_2\) zeigen:

\(a^2_1 = a^2_2\)

\(a_1 + b_1 = a_2 + b_2\)

\(b_1 = b_2\)

Kann man das so machen?

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Ja, genau so geht es. Stur nach Schema, nicht durch R^3 irritieren lassen. Und jetzt hinschauen und erkennen, dass Du eigentlich fertig bist mit der Injektivität. Schau auf das, was zu zeigen ist.

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Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Durch Wurzel ziehen komm ich bei \(a^2_1 = a^2_2 \)auf \( a_1 = a_2 \)
\(b_1 = b_2 \) passt so, und \(a_1 + b_1 = a_2 + b_2 \) muss ich nicht beachten, da \(a_1 = a_2 \) und \(b_1 = b_2\) bereits gezeigt ist?

   ─   universeller 20.10.2020 um 21:53
Die Gleichung mit den Quadraten möcht ich ja loswerden, indem ich die Wurzel ziehe^^
\(sqrt(a^2) = a\) oder überseh ich da etwas?   ─   universeller 20.10.2020 um 22:06
\(a_1+b_1 = a_2 + b_2 \to a_1 + b_1 - a_2 = b_2\)
Wenn ich diesen Teil bei \(b_1 = b_2\) einsetze, bekomme ich \(a_1 = a_2\)   ─   universeller 20.10.2020 um 22:12
Ok, das wusste ich nicht. Um die erste Gleichung zu prüfen, muss ich dafür \(a_1 + b_1 = a_2 + b_2 \) nach \(a_1+b_1-b_2 = a_2\) umstellen und für \(a_2\) in der ersten Gleichung einsetzen?
Aber dieses Betrag von \(a\) verwirrt mich jetzt^^   ─   universeller 20.10.2020 um 22:44
Jetzt blick ich gar nicht mehr durch... Also, ich hab einmal die ursprünglich 3. Gleichung \(b_1 = b_2\)
Da für \(b_2\) die 2. Gleichung eingesetzt, ergibt \(a_1 = a_2\)
Die erste Gleichung sieht nach dem Wurzel-ziehen so aus: \(\left| a_1 \right | = \left| a_2 \right| \)
Wie kann ich da jetzt die Ergebnisse, der 2. und 3. Gleichung, einsetzen?   ─   universeller 20.10.2020 um 23:01
Also, das sind meine 3 Ausgangsgleichungen:

1. \(a_1^2 = a_2^2\)
2. \(a_1+b_1 = a_2 + b_2\)
3. \(b_1 = b_2\)

Von hier aus würd ich jetzt die 2. Gleichung einmal nach \(b_2\) und einmal \(a_2\) umstellen und in der 1. und 3. Gleichung einsetzen.
Wie würde Dein Weg aussehen?   ─   universeller 21.10.2020 um 14:50
Das hab ich verstanden, aber um es mit Gleichung 1 zu testen, muss man da ja einsetzen oder wie soll das funktionieren?   ─   universeller 21.10.2020 um 15:46
Das hätt ich ja gemacht: \(a_1^2 = (a_1+b_1-b_2)^2\)
   ─   universeller 21.10.2020 um 21:40
Ich hab aus \(a_1 + b_1 = a_2 + b_2\) einmal \(a_1+b_1-a_2=b_2\) und einmal \(a_1 + b_1 -b_2 = a_2\) hergeleitet.
Die erste Herleitung in die 3. Gleichung eingesetzt, ergibt: \(b_1 = (a_1+b_1-a_2) \to a_2 = a_1\)   ─   universeller 22.10.2020 um 08:28
Wüsste nicht, wie man diese 2 Herleitungen einsetzen soll   ─   universeller 22.10.2020 um 13:41
Dann setz ich \(a_1, a_2\) in die erste Gleichung ein. Ist somit gezeigt, dass \(a_1 = a_2\)?   ─   universeller 23.10.2020 um 14:45
Gut, dann hätten wir das endlich geklärt, danke^^   ─   universeller 24.10.2020 um 19:38

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