Nun die Summenformel ist falsch. Es fehlt immer das Anfangsglied als Vorfaktor. In der ersten Summe 1/4 und in der zweiten -3/4.

Also bei der Berechnung der Summe hast du nichts falsch gemacht. Die geometrische Reihe gilt beginnend für \(k=0\) und nicht \(k=1\). Da müsste dein Fehler liegen.

Es müsste also folgende Rechnung zum Erfolg führen, wenn man deine Rechnung in die Zwischenschritte einfügt:

\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1-2(-3)^n}{4^n} =\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1-2(-3)^n}{4^n} +1=\ldots =\dfrac{4}{21} +1=\dfrac{25}{21}}\)

Hoffe das hilft weiter.

Die geometrische Reihe ist gegeben durch

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}a^{n}=\frac{1}{1-a}$$ und sie fängt ihr bei 0 an. Wenn der Laufindex jedoch bei 1 startet musst du den Rest auch noch anpassen

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}a^{n-1}=\frac{1}{1-a}-1$$. Da du den Start um 1 erhöht hast musst du das beim a auch um eins erniedriegen. Der Grenzwert verändert sich dann auch entsprechend. Weißt du, warum der Grenzwert sich so verändert?