zu b) \((x^2 - 1)y´+ 2xy- xy^2 = (x^2 -1)y´+xy(2-y) =0 \Rightarrow {y´ \over y(y-2)} = {x \over(x^2 -1) } \)
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Guten Tag, bei diesen beiden Uni-Aufgaben, komme ich an folgendem Punkt leider nicht mehr weiter. Hoffe jemand kann mir dabei helfen:)
(b) (x^2 − 1)y'(x) + 2xy(x) = xy(x)^2 , y(0) = 1
Lösungsansatz: y'(x)x^2 - y'(x) + 2xy(x) = xy(x)^2 <=> y'(x)x^2 - y'(x) = xy(x)^2 - 2xy(x)
<=> y'(x)x^2 - y'(x) = -x * y(x)^2 - 2y(x) <=> y'(x)x^2 - y'(x) + 2y(x) = -x * y(x)^2 ... Ab einem gewissen Punkt schaffe ich nicht weiter zu trennen aufgrund
der verschiedenen Produkte und Summen.
(c) y'(x) + 1 = cos^2 (x + y(x)), y(0) = 0
<=> y'(x) + 1 = cos^2 (x) * cos^2 (y(x)) - sin^2 (x) * sin^2 (y(x)) <=> dy/dx + 1 = cos^2 (x) * cos^2 (y(x)) - sin^2 (x) * sin^2 (y(x))
Hier stoße ich wie bei der b) auf das selbe problem..
Vielen Dank für alle Lösungvorschläge im Voraus.
MFG
zu b) \((x^2 - 1)y´+ 2xy- xy^2 = (x^2 -1)y´+xy(2-y) =0 \Rightarrow {y´ \over y(y-2)} = {x \over(x^2 -1) } \)
Für die c) substituiert man am besten \( z(x)=x + y(x)\). Dann erhält man
\( z^\prime(x) = \cos^2( z(x)), \ \ z(0)=0 \)
und somit
\( \tan(z(t)) = \int_0^t \frac{z^\prime(x)}{\cos^2(z(x))} \ dx = \int_0^t 1 \ dx = t \)
also
\( y(x) = arcctan(x) - x \)