Hallo,

eine Transformationsmatrix ist in erster Linie eine Abbildungsmatrix. Und zwar ist es die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung. 
Wenn sowohl im Definitionsraum, als auch im Zielraum die selbe Basis gegeben ist, dann ist die Identitätsabbildung gerade die Einheitsmatrix. Die Identitätsabbildung bildet also jeden Vektor auf sich selbst ab.
Da wir hier aber zwei unterschiedliche Basen haben, bilden wir zwar jeden Vektor auf sich selbst ab, aber die Darstellung ändert sich und deshalb haben wir hier nicht die Einheitsmatrix. 

So viel zur Theorie :). Nun wollen wir die Basis bestimmen. Die Transformationsmatrix wird gerade so bestimmt, dass die Abbildung \( \tilde{T} \) den Vektor \( \vec{b}_i \) auf den Vektor \( \vec{b}'_i \) abbildet. Du kannst also einfach

$$ \tilde{T} \cdot \vec{b}_i = \vec{b}'_i $$

berechnen und erhälst deine Basis \( \mathcal{B}'\). 

Grüße Christian