Hey Joshi,

für die allgemeine Form der Tangentengleichung gilt: \( y = mx + n \)

Dabei ist \( m \) der Anstieg der Funktion und \( n \) der \(y\)-Achsenabschnitt. Den Anstieg der Tangente in einem Punkt der natürlichen Exponentialfunktion bekommst du durch die Ableitung heraus.

Für einen beliebigen Punkt \( (u,e^u) \) gilt, dass der Anstieg der Tangente ebenfalls \( m = e^u \) ist, da die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion wiederum die natürliche Exponentialfunktion ist.

Eingesetzt gilt nun also:

\( y = e^u \cdot x + n \)

Nun muss noch das \( n \) bestimmt werden. Dafür setzt du deinen Punkt \( (u,e^u) \) in die Tangentengleichung ein:

\( e^u = e^u \cdot u + n \quad \Leftrightarrow \quad n = e^u - e^u \cdot u \)

Nun bist du aber am Schnittpunkt der Tangente mit der \( x \) - Achse, also der Nullstelle der Tangente, interessiert. Dafür musst du die Tangentengleichung Nullsetzen.

\( 0 = e^u \cdot x + (e^u - e^u \cdot u ) = e^u \cdot (x + 1 - u) \)

Der letzte Umformungsschritt erfolgte durch Ausklammern von \( e^u \). Dadurch, dass die Exponentialfunktion nicht 0 wird, muss also die Klammer 0 werden. Das nach \( x \) umgestellt gibt dir dann also die entsprechende allgemeine Nullstelle der Tangenten an der natürlichen Exponentialfunktion in Abhängigkeit von \( u \).

Ich hoffe, dass hilft dir weiter!

VG
Stefan