OK, nochmal langsam, aber mit allen notwendigen und einigen zusätzlichen Klammern, damit es keine Missverständnisse gibt. Du hast also richtig gerechnet

\[ \frac{ (n+1)^2 / 3^{n+1} }{ n^2 / 3^n } = \frac{ [(n^2 + 2n + 1) / 3^{n+1}] \cdot 3^n }{ n^2 } \]

Mach es doch andersherum (alle Wege führen letztlich zum selben Ziel)

\[ \frac{ (n+1)^2 / 3^{n+1} }{ n^2 / 3^n } = \frac{ n^2 + 2n + 1 }{ [n^2 / 3^n] \cdot 3^{n+1} } = \frac{ n^2 + 2n + 1 }{ n^2 \cdot [3^{n+1} / 3^n] } \]

Der nächste Schritt liefert dann \( 3^{n+1} / 3^n = 3 \). Verstanden?

Wie man mit Potenzen umgeht, weißt du? Wenn nicht, dann wiederhole das Thema nochmal. Das wirst du ständig brauchen...

Wenn die erste Zeile in deinem Beweis richtig ist, dann müsste die Behauptung richtig lauten

\[ \lim_{n \to \infty} \frac {n^2 + n \cdot 2^n} {3^n} = 0 \]

Der Bruch wird in zwei Teile zerlegt und die Grenzwerte der beiden Teile separat betrachtet. Ab hier könnte man sicher auch anders vorgehen, aber wahrscheinlich habt ihr noch zu wenige allgemeine Regeln für die Folgen und Grenzwerte durchgenommen, deswegen ist das hier so kompliziert.

In der nächsten Zeile werden zwei Rekursionsformeln angegeben, wie man das \(n+1\)-te Glied der Folge aus dem \(n\)-ten Glied berechnen kann. Schaut so aus als ob die Formeln „vom Himmel fallen“, aber tatsächlich kann man sie sogar selber finden, nämlich indem man rechnet

\[ \frac{b^{(1)}_{n+1}}{b^{(1)}_n} = \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}} {n^2 / 3^n} = \frac{(n^2 + 2n + 1)/3}{n^2} = \dots \]

und analog für den anderen Bruch.

Nun findet man, dass die Faktoren \(x^{(i)}_n\), mit denen die \(b^{(i)}_n\) multiplliziert werden, gegen \(\frac 1 3\) bzw. \(\frac 2 3\) gehen, wenn \(n \to \infty\). Das ist ein guter Gedanke, weil wir ja daran interessiert sind, was für die sehr großen \(n\) ganz am Ende passiert. Die Teile \(\ldots + \frac 1 n + \frac 1 {n^2}\) fallen dabei weg, weil diese Brüche (bildlich gesprochen) bei großem \(n\) sehr sehr klein werden, genauer gesagt: ihr Grenzwert ist Null.

Danach sehe ich eine doppelte Zeile. Das erste Exemplar bitte durchstreichen, weil es unvollständig ist. Aber auch das zweite Exemplar war für mich erst mal rätselhaft. Am ehesten wird etwas Vernünftiges daraus, wenn man den Anfang „da \(b^{(i)} \le \frac 2 3\)“ weglässt und erst bei „für \(i \in \{1,2\} \ldots\)“ anfängt.

Die wesentliche Aussage ist, dass für ausreichend großes \(n\)

\[ 0 \le x^{(i)}_n \le \textstyle \frac 5 6 \]

gilt. Wieso das denn, woher kommt denn jetzt auf einmal \(\frac 5 6\)??? – Nun, zuvor hatten wir ja gesagt, dass \(x^{(2)}_n \to \frac 2 3\), aber es wird immer größer als \(\frac 2 3\) sein, wegen dem Kleinkram \(\ldots + \frac 1 n + \frac 1 {n^2}\). Nun nimmt man sich irgendeine hübsche Zahl zwischen \(\frac 2 3\) und \(1\) und behauptet: Irgendwann wird \(x^{(2)}_n\) unter dieser Zahl bleiben. (Wegen dem Grenzwert \(\frac 2 3\) darf man das.)

Schön! Und weil der Grenzwert von \(x^{(1)}_n\) noch kleiner ist als der von \(x^{(2)}_n\), nimmt man das gleich mit und schreibt abkürzend \(x^{(i)}_n\). Sonst müsste man praktisch denselben Text nochmal wiederholen, aber diesmal dürfte man sich eine beliebige Zahl zwischen \(\frac 1 3\) und \(1\) aussuchen – warum also nicht wieder \(\frac 5 6 \ldots\)?!

Die abschließende Zeile ist auch nochmal ein Schmankerl. Ich versuche das mal etwas „langsamer“ zu schreiben, damit man sieht, woher die Formel kommt:

\[ \frac { b^{(i)}_{N^{(i)}+n} } { b^{(i)}_{N^{(i)}} } = x_{N^{(i)}+1} \cdot x_{N^{(i)}+2} \cdot \ldots \cdot x_{N^{(i)}+n} \textstyle \le \frac 5 6 \cdot \frac 5 6 \cdot \ldots \cdot \frac 5 6 = (\frac 5 6)^n \]

Hier stellt man sich also die Frage: Was passiert mit den Folgengliedern \(b^{(i)}_n\), nachdem \(n\) die kritische Größe \(N^{(i)}\) überschritten hat? (Das klingt wie eine Formalität, aber erst ab da darf man unser Ergebnis \(x^{(i)}_n \le \frac 5 6\) benutzen.)

Bringt man den Nenner auf die rechte Seite, bekommt man die Ungleichung auf deinem Blatt. Dieser Ausdruck \(b^{(i)}_{N^(i)}\) hat übrigens den Charakter einer Konstanten! Darin taucht kein \(n\) mehr auf, also kann der Ausdruck beliebig groß sein – wenn wir ihn mit \((\frac 5 6)^n\) multipllizieren, geht das Ganze sicher gegen Null.

Uff!! – Das war ein hartes Stück Arbeit! Ich hoffe, es hat dir geholfen.