Hallo,

die Formel die du meinst ist 

$$ (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})^{k}\,=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}=k}{k \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}\,\cdot \,x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}} $$

mit

$$ {k \choose k_{1},\ldots ,k_{n}} = \frac {k!} {k_1! \cdot \ldots \cdot k_n!}$$

Das einzig schwierige (aber dafür mit steigendem \(n \) wirklich schwer werdende) Aufgabe, ist es alle möglichen Summen

$$ k_1 + \ldots + k_n = k $$

zu finden. Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an

$$ (1+2+3)^2 = 6^2 = 36 $$

Wir wollen nun mittels Multinomialen Lehrsatz auf das selbe Ergebnis kommen. Was wir schon mal sofort ablesen können ist,

$$ \begin{array}{ccc} k & = & 2 \\ x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & 2 \\ x_3 & = & 3 \\ n & = &  3 \end{array} $$

Jetzt wird es etwas kniffelig. Die Frage ist nun, wie viele Summen aus \( k_1,k_2,k_{n=3} \in \mathbb{N}_0 \) ergeben \( k=2 \)?

Es gilt

$$ \begin{array}{ccc} 2+0+0 & = & 2 \\ 0 + 2 + 0 & = & 2 \\ 0 +0 + 2 & = & 2 \\ 1+ 1 + 0 & = & 2 \\ 0 + 1 + 1 & = & 2 \\ 1 + 0 + 1 & = & 2 \end{array} $$

Für jede dieser Summen, liefert uns der Lehrsatz einen Summanden. Damit gilt nun

$$ \begin{array}{ccc} (1+2+3)^2 & = & \binom{2}{2,0,0} 1^2\cdot 2^0 \cdot 3^0 + \binom{2}{0,2,0} 1^0 \cdot 2^2 \cdot 3^0 + \binom{2}{0,0,2} 1^0 \cdot 2^0 \cdot 3^2 + \binom{2}{1,1,0} 1^1 \cdot 2^1 \cdot 3^0 + \binom{2}{0,1,1} 1^0 \cdot 2^1 \cdot 3^1 + \binom{2}{1,0,1} 1^1 \cdot 2^0 \cdot 3^1 \\ & = & \frac {2!} {2!} 1^2 + \frac {2!} {2!} 2^2 + \frac {2!} {2!} 3^2 + \frac{2!} {1! \cdot 1!} 1 \cdot 2 + \frac{2!} {1! \cdot 1!} 2 \cdot 3 + \frac{2!} {1! \cdot 1!} 1 \cdot 3 \\ & = & 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 \\ & = & 36    \end{array} $$

Man sieht als, dass nach dem alle Summen bestimmt wurden, nur noch eingesetzt werden muss. Nun war es hier noch relativ simpel die Summen zu bestimmen. Mit steigendem \( n \) wird das immer schwerer. Dazu noch einen Tipp:

Nehmen wir mal an wir hätten den Ausdruck

$$ (1+2+\ldots + 10)^5 $$

Das bedeutet, wir wollen wissen, wie viel Summen es mit \( k_1 , \ldots, k_{10} \in \mathbb{N}_0 \) gibt, die \( 5 \) ergeben. 
Da wir nur natürliche Zahlen für die \( k_i \) wählen dürfen, gilt

$$ k_i \in \{ 0,1,2,3,4,5 \} $$

Jetzt überlegen wir uns erstmal, wie wir ohne die Nullen und ohne Beachtung der Reihenfolge die Zahlen addieren können, um \( 5 \) zu erhalten

$$ \begin{array}{ccc} 5 & = & 5 \\ 4 + 1 & = & 5 \\ 3 + 2 & = & 5 \\ 3 + 1 + 1 & = & 5 \\ 2 + 2 + 1 & = & 5 \\ 1 + 1 + 1+1 +1 & = & 5 \end{array} $$

Wir reduzieren also immer den ersten Summanden um \( 1 \) und addieren zu der ersten Zahl immer Zahlen die kleiner sind. Zahlen die größer sind, müssen wir nicht mehr addieren, da der Fall schon vorher vorkommt. 

Jetzt können wir mit etwas Kombinatorik überlegen wie viele Fälle es jeweils gibt um die Summe zu basteln. 
Wenn eine Zahl gleich \( 5 \) ist, müssen die anderen alle Null sein. Also haben wir Neun Nullen. Jetzt können wir überlegen, wie viele Kombinationen von diesen Nullen und der 5 exisiterien, wenn die Reihenfolge wieder eine Rolle spielt. Ich denke es ist offensichtlich, dass dies \( 10 \) Möglichkeiten sind. Der nächste Fall beinhaltet eine \( 4 \), eine \( 1 \) und acht mal \( 0 \). Wie oft können wir diese Zahlen in einer Summe unter Beachtung der Reihenfolge kombinieren?

Das gibt dir einen Überblick, wie viele Summanden durch deinen Multinomialen Lehrsatz entstehen. Ich wünsche dir, dass du niemals so einen Ausdruck auf diese weise ausrechnen musst, aber für kleinere Fälle gibt das natürlich auch eine gute Kontrolle ob man alle Fälle betrachtet oder nicht :)

Grüße Christian