AAAAHHHH die Nullspalte ist die rechte Seite des homogenen LGS!!! :-D

Dann ist klar. Du hast genau eine Gleichung:

\(ax_1 + ax_2 +ax_3= 0\)

Du setzt \(x_3=\mu_3\) und \(x_2=\mu_2\) mit \(\mu_2,\mu_3\in\mathbb{C}\) und erhälst für \(a\neq0\) die Relation \(x_1=-\mu_2-\mu_3\). Für \(a=0\) erhälst du keine Einschränkung.

Lösungsmene  ist für \(a\neq0\) einfach

\(\left\{\displaystyle \vec{x}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-\mu_2-\mu_3\\\mu_2\\\mu_3\end{pmatrix}=\mu_2\cdot  \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+ \mu_2\cdot  \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}:\mu_2,\mu_3\in\mathbb{C} \right\}=\text{Span}\left(\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},  \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\right)\)

Für \(a=0\) hast du keine Einschränkung - jeder Vektor des \(\mathbb{C}^3\) löst das LGS - also ist die Lösungsmenge ganz \(\mathbb{C}^3\).