Untervektorräume

Aufrufe: 663     Aktiv: 03.05.2020 um 21:00
0

Hallo, 

habe folgende Aufgabe: 

Sei \(V = F(\mathbb{R}/\mathbb{R})\)

Welche der folgenden Teilmengen sind Untervektorräume von \(V\)?

\((i)\) \(U_1 = \{f \in V |f(0) = 0\}\)

\((ii)\) \(U_2 = \{f \in V |f(0) = 1\}\)

\((iii)\) \(U_3 = \{f \in V |f \text{ ist stetig}\}\)

 

Eine Teilmenge wäre ja ein Untervektorraum, wenn sie sowohl das Nullelement enthält, und sie bezüglich der Addition und skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Nur hab ich keinen Ansatz, wie ich das hier zeigen kann...jemand einen Tipp?

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 96

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

\(U_2\) kann man ausschließen, da \(x\mapsto0\notin U_2\). In \(U_1\) und \(U_3\) ist das Nullelement enthalten.

zur Abgeschlossenheit:

Seien \( f,g\in U_1\Rightarrow f(0)=0 \) und \(g(0)=0\Rightarrow f(0)+g(0)=0\Rightarrow f+g\in U_1\).

Sei \(f\in U_1\) und \(\lambda\in\mathbb{R} \Rightarrow f(0)=0\Rightarrow \lambda\cdot f(0)=0\ \Rightarrow \lambda f\in U_1\).

Bei \( U_3\) kannst du damit argumentieren, dass die Addition zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist, desselbe mit Skalarmultiplikation.

Grüße

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 4.59K

 
Vielen Dank!   ─   mathematikmachtspaß 03.05.2020 um 21:00

Kommentar schreiben