Hat sich erledigt was hier stand, hatte mich verlesen.

Hallo,

"Der kleinste Wert welchen ich einsetzen kann ist 0", Da du \(\left | x \right |<1\) zulässt, wäre dein kleinst möglichstes \(x=-1+\epsilon\) mit \(\epsilon>0\).

"und gibt es evtl. noch elegantere Lösungsmöglichkeiten?" Es gibt immer elegantere Wege ;)

Ein schöner Weg wäre z.B die Ungleichung \(\left ( 1+y \right )^n\geq 1+ny\) zu nutzen, die \(\forall \ \mathbb{R}\ni y\geq -1\) und \(\forall \ \mathbb{N}_0\ni n\geq 0\) gilt. (Die Bernoulli-Ungleichung)

Zu b): Sicher, dass \(\left | x \right |<1\) angenommen wird? Denn diese Ungleichungen gelten nur für \(x\in \left ( 0,\infty \right )\).

Gruß,

Gauß

PS: Über Ableitungen kann man natürlich auch argumentieren. Betrachten wir \(f\left ( x \right )=e^x-1-x\) wobei \(x\in \left ( -1,1 \right )\).

\(f\left ( -1 \right )=\frac{1}{e}> 0\). Für die Ableitung unserer Funktion gilt:

\(f'\left ( x \right )=e^x-1=\left\{\begin{matrix}
<0 \ x\in (-1,0)\Rightarrow f(x) \ faellt\\
\geq 0 \ x\in [0,1)\Rightarrow f(x) \ steigt\\
\end{matrix}\right.\)

Und da \(f(0)=0\) ist unsere Funktion \(f(x)\geq 0\ \forall x\in(-1,1)\), woraus dann unsere gewünschte Ungleichung folgt.

Guten Morgen

Ich poste mal die Aufgabe als Bild, damit es ein weniger übersichtlicher ist (hätte ich auch schon früher machen können,sorry):

Das | x | < 1 gilt wahrscheinlich auch für die Teilaufgabe b.

Eine Frage wegen der Bernoulli-Ungleichung. Wie kann ich das denn hier anwenden? Mir ist es schon auch aufgefallen, dass eventuell die Möglichkeit besteht das machen zu können. Aber ich bin mir gerade echt nicht sicher wie :-)

Und danke für den Hinweis mit der 0. Da habe ich wohl zu wenig aufgepasst.