Hallo,
du kannst die Gleichheit auch anders zeigen:
$$\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^n(n+1-k)=\sum_{k=1}^n(k-n-1+k)=\sum_{k=1}^n2k-(n+1)\sum_{k=1}^n1$$
$$=2\sum_{k=1}^nk-(n+1)n=2\frac{(n+1)n}{2}-(n+1)n=(n+1)n-(n+1)n=0$$
Und da die Differenz von beiden \(0\) sind, müssen sie gleich sein. Wenn du Summen über Konstanten oder die Gaußsche Summenformel nicht kennst, empfehle ich dir die Videos:
https://youtu.be/1ipQGJuY4kA (Analysis 056 - Gaußsche Summenformel (mit Beweis))
https://youtu.be/3IaevNyoNtM (Analysis 049 - Summen- und Produktzeichen)
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Es gilt \(\sum_{k=1}^n1=n\), weil man über die \(1\) summiert. Daher kommt das \(n\) hinter dem \((n+1)\) und in der zweiten Zeile ist der erste Schritt das Verwenden der Gaußschen Summenformel und danach vereinfacht! :) ─ endlich verständlich 31.10.2019 um 18:01