Hallo,

bis hier hin hast du alles richtig gemacht. \( L^2(v_i) \) bedeutet nur das du deine Abbildung zweimal hintereinander durchführst, also \( (L \circ L)(v_i) \) (Man schreibt \( (L(v_i))^2 \), wenn man das Quadrat der Lösung meint). Du kannst also anstatt

\( L(L(v_2)) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} \)

auch

\(L(L(v_2))= \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot  v_2 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2\cdot v_2 \)

berechnen.

Somit gilt 

\( L^n = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n \)

Du musst also die n-te Potenz deiner Matrix bestimmen und gucken was passiert wenn \( n\to \infty \) läuft.

Wenn du dir das Quadrat der Matrix \( A \) berechnest, wirst du du schnell sehen wohin die Matrix strebt ;)

Grüße Christian