Wie bereits in der anderen Frage gesagt ist es wirklich nicht leicht sich das immer richtig vorzustellen. Nicht verzagen. Mit Übung wird es leichter :)

Wir stellen uns wieder vor wie das Gebilde gebaut wird. Wie im Prinzip von Cavalerie können wir hier die verschiedenen Schnittflächen bestimmen die abhängig von der Höhe sind. Diese "schichten" wir dann übereinander durch das integrieren über die Höhe. 

Also bilden die inneren Integrale die Schnittflächen und das letzte Integral ist die Höhe. Also

\( \int_0 \int_0^{2\pi} \int^2 r^3 \ dr d\varphi dz \) 

Kommst du auf die fehlenden Grenzen?

Für die Höhe. Für welches \( z \) treffen sich \( x^2 +y^2 = 4 \) und \( x^2 + y^2 = z \)?

Für den Radius nutze deine Abhängigkeiten.

b) verläuft dann analog.

Grüße Christian

Hallo,

wir sollen das ganze in Zylinderkoordinaten integrieren. Das bedeutet wir haben die Koordinaten Radius Winkel und Höhe. Zuerst transformieren wir und erhalten

\(f(x,y,z)= x^2 +y^2 \to f(r, \varphi , z)=  r^2 \)

Dann transformieren wir die Grenzen

\( x^2 + y^2 = 4 \to r^2 = 4 \\ x^2 + y^2 = z \to r^2 = z \)

Nun überlegen wir uns die Grenzen unserer Variablen.

Wir basteln uns zuerst die Grundebene.
\( \varphi \) geht wieder von 0 bis \( 2 \pi \), da unsere Figur in allen Quadranten ist.
Unser Radius ist von der Höhe abhängig. Wie sehen die Grenzen unseres Radius aus?
Nun ziehen wir (wie bei der Cavalerie Aufgabe) Schicht für Schicht unsern Körper in die Höhe. Wir fangen bei der Höhe in der x-y Ebene an. Das bedeutet unsere untere Grenze ist Null. Auf welcher Höhe schneiden sich der Zylinder und der Paraboloid?

Grüße Christian