Zunächst hast du im Aufschrieb einen Fehler. Die Aussage müsste lauten: \(f\) ist differenzierbar in \(a\), wenn ein Polynom \( p(x) = f(a)+c(x-a) \) existiert mit \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-p(x)}{x-a} = 0 \).

Zur Frage mit dem Betrag: Da der Betrag stetig ist, gilt für eine beliebige Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) immer \( \vert \lim_{n \to \infty} a_n \vert = \lim_{n \to \infty} \vert a_n \vert \) und somit \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \Leftrightarrow \vert \lim_{n \to \infty} a_n \vert = 0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \vert a_n \vert = 0\). Man kann die Betragsstriche bei der Limes-Eigenschaft des Polynoms also auch weglassen.

Zur Äquivalenz: Sei zunächst \(f\) differenzierbar in \(a\). Dann erfüllt das Polynom \( p(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a) \) die gewünschte Eigenschaft, denn: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-p(x)}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime}(a) = f^{\prime}(a) - f^{\prime}(a)=0\).

Sei nun umgekehrt \( p(x) = f(a) + c(x-a) \) ein Polynom mit \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-p(x)}{x-a} = 0 \). Dann ist \(f\) in \(a\) differenzierbar mit \( f^{\prime}(a)=c \), denn: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-p(x)}{x-a} + c= c \).