Vektorraum (Polynome)

Aufrufe: 490     Aktiv: 19.10.2020 um 16:15
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Hallo!

Ich habe 4 Polynome gegeben und soll zeigen, dass diese eine Basis des \(P^3(x) \) darstellen, d.h. linear unabhängig sind. Nun bin ich mir nicht ganz sicher, würde allgemein jedoch so vorgehen:

 \( p_1(x) = a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x^1 + d_1x^0  \)

\( p_2(x), p_3(x), p_4(x) = \cdot \cdot \cdot \)

 

\( p_1(x) = \begin{pmatrix} x^3 \\\ x^2 \\\ x^1 \\\ x^0 \end{pmatrix} \cdot (a_1, b_1, c_1, d_1)  \)

\( p_2(x), p_3(x), p_4(x)=  ... \)

 

Danach ein Gleichungssystem mit \( a_1, b_1, c_1, d_1 \) in der ersten Zeile \(=0\), in der Zweiten weiter mit den Konstanten vom zweiten Polynom etc., das Ganze anschließend mit Gauss lösen (Nullvektor stellt die einzige Lösung dar).

Richtig so?

 

 

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1 Antwort
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Verstehe ich richtig, dass Du die vier Polynome konkret gegeben hast, aber hier nicht hinschreibst? Und das erste heißt wie angegeben, wobei Du \(a_1,b_1,c_1,d_1\) kennst? Wie soll Dein LGS dann aussehen, was sind die unbekannten Parameter? Bei vier Gleichungen brauchst Du vier Unbekannte.

Für die lineare Unabhängigkeit musst Du zeigen: \(\sum\limits_{i=1}^4 \lambda_ip_i(x)=0\) für alle \(x\) \(\Longrightarrow \lambda_i=0\) für alle \(i\).

Diese Gleichung (eine mit vier Unbekannten) schreibst Du hin, sortierst nach Potenzen von \(x\) und setzt die vier Koeffizienten der Potenzen von \(x\) gleich 0. Dies ist ein LGS mit vier Gleichungen und vier Unbekannten, das ist zu lösen.

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Genau, bei meinem Beispiel habe ich 4 konkrete Polynome. \(a_1, b_1, etc.\) sind allgemein die Koeffizienten (haben nicht direkt etwas mit dem Beispiel zu tun, geht ums Verständnis)
Folgendes war gemeint:
\( \begin{array} {cccc | c} x^3 & x^2 & x^1 & x^0 \\ a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & 0 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 & 0 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 & 0 \end{array} \)
Gaussalgorithmus anwenden, Lösung muss nach Angabe der Nullvektor sein.   ─   tim223 18.10.2020 um 23:13
Stimmt, das macht eigentlich wirklich keinen Sinn. Denke, dass es nun so richtig sein müsste? https://imgur.com/a/4IjrzxD   ─   tim223 19.10.2020 um 15:31
Vielen Dank für die Hilfe! Hat mir sehr geholfen.   ─   tim223 19.10.2020 um 16:01

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