Vektorraum (Polynome)

Aufrufe: 81     Aktiv: vor 2 Tagen, 22 Stunden

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Hallo!

Ich habe 4 Polynome gegeben und soll zeigen, dass diese eine Basis des \(P^3(x) \) darstellen, d.h. linear unabhängig sind. Nun bin ich mir nicht ganz sicher, würde allgemein jedoch so vorgehen:

 \( p_1(x) = a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x^1 + d_1x^0  \)

\( p_2(x), p_3(x), p_4(x) = \cdot \cdot \cdot \)

 

\( p_1(x) = \begin{pmatrix} x^3 \\\ x^2 \\\ x^1 \\\ x^0 \end{pmatrix} \cdot (a_1, b_1, c_1, d_1)  \)

\( p_2(x), p_3(x), p_4(x)=  ... \)

 

Danach ein Gleichungssystem mit \( a_1, b_1, c_1, d_1 \) in der ersten Zeile \(=0\), in der Zweiten weiter mit den Konstanten vom zweiten Polynom etc., das Ganze anschließend mit Gauss lösen (Nullvektor stellt die einzige Lösung dar).

Richtig so?

 

 

gefragt vor 3 Tagen, 19 Stunden
t
tim223,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14

 
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1 Antwort
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Verstehe ich richtig, dass Du die vier Polynome konkret gegeben hast, aber hier nicht hinschreibst? Und das erste heißt wie angegeben, wobei Du \(a_1,b_1,c_1,d_1\) kennst? Wie soll Dein LGS dann aussehen, was sind die unbekannten Parameter? Bei vier Gleichungen brauchst Du vier Unbekannte.

Für die lineare Unabhängigkeit musst Du zeigen: \(\sum\limits_{i=1}^4 \lambda_ip_i(x)=0\) für alle \(x\) \(\Longrightarrow \lambda_i=0\) für alle \(i\).

Diese Gleichung (eine mit vier Unbekannten) schreibst Du hin, sortierst nach Potenzen von \(x\) und setzt die vier Koeffizienten der Potenzen von \(x\) gleich 0. Dies ist ein LGS mit vier Gleichungen und vier Unbekannten, das ist zu lösen.

geantwortet vor 3 Tagen, 16 Stunden
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 6.99K
 

Genau, bei meinem Beispiel habe ich 4 konkrete Polynome. \(a_1, b_1, etc.\) sind allgemein die Koeffizienten (haben nicht direkt etwas mit dem Beispiel zu tun, geht ums Verständnis)
Folgendes war gemeint:
\( \begin{array} {cccc | c} x^3 & x^2 & x^1 & x^0 \\ a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & 0 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 & 0 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 & 0 \end{array} \)
Gaussalgorithmus anwenden, Lösung muss nach Angabe der Nullvektor sein.
  ─   tim223, vor 3 Tagen, 15 Stunden

Ja, so habe ich Dich verstanden, aber das macht gar keinen Sinn. Wo sind denn die Unbekannten in Deinem System? Wenn diese Matrix mit einem Vektor der Unbekannten multipliziert wird, kombinierst Du irgendwas zu Null, aber nicht die Polynome. Denn die sind im LGS gar nicht verbunden. Es geht nur so, wie ich oben beschrieben habe.
Wenn Du Deinen Weg nicht so einfach aufgeben willst, dann schreib doch mal nur die erste Gleichung hin, nicht mit Vektoren, Matrizen und so, sondern einfach als Gleichung. Mit den vier Unbekannten drin. Dann schaue ich mir das an.
  ─   mikn, vor 3 Tagen, 15 Stunden

Stimmt, das macht eigentlich wirklich keinen Sinn. Denke, dass es nun so richtig sein müsste? https://imgur.com/a/4IjrzxD   ─   tim223, vor 2 Tagen, 23 Stunden

Hab jetzt nicht die einzelnen Ausklammerungen nachgerechnet, aber Vorgehen (Ansatz, Aufstellen, Lösen des LGS) ist richtig. Und Ergebnis passt ja auch.   ─   mikn, vor 2 Tagen, 22 Stunden

Vielen Dank für die Hilfe! Hat mir sehr geholfen.   ─   tim223, vor 2 Tagen, 22 Stunden

Gern geschehen.   ─   mikn, vor 2 Tagen, 22 Stunden
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