Das Problem an der Geschichte mit Primkörpern ist leider immer noch, dass der Professor uns immer noch nicht erklärt hat, was genau diese Kongruenzklassen überhaupt sind und wir sie als formale Symbole auffassen sollen.

Ich verstehe, dass \(A\) eine Matrix mit ganzzahligen Einträgen aus der Menge der rationalen Zahlen ist und \(A_p\) eine Matrix mit Einträgen aus dem endlichen Primkörper, also der Kongruenzklassen.

Also ist mein Problem gerade, überhaupt zu verstehen, was die Elemente von \(A_p\) und somit der Kongruenzklassen sind. Inwieweit Zahlen darin liegen können, linear abhängig usw.

Viele Grüße!

Kennst du dich etwas mit Modulo aus? Man nennt zwei ganze Zahlen kongruent wenn sie bei der Division durch die selbe Zahl den selben Rest erhalten.

Nehmen wir als Primzahl mal die 5. Dann gilt

\( \frac 0 5 = 0 \ Rest \ 0 \)

\( \frac 1 5 = 0 \ Rest \ 1 \)

\( \frac 2 5 = 0 \ Rest \ 2 \)

\( \frac 3 5 = 0 \ Rest \ 3 \)

\( \frac 4 5 = 0 \ Rest \ 4 \)

\( \frac 5 5 = 1 \ Rest \ 0 \)

\( \frac 6 5 = 1 \ Rest \ 1 \)

\( \ldots \)

Du hast also 5 Kongruenzklassen. Und zwar die zum Rest 0,1,2,3,4 .

Die 0 ist immer Element des Vektorraums bedarf also keinen Basisvektor um ihn zu erzeugen. Also wäre die Basis:

mod 1, mod 2, mod 3, mod 4

Wenn du nun in der Matrix A Elemente aus den Kongruenzklasen von 5 hast, warum gibt es dann nur 5 linear unabhängige Zeilen?

Grüße Christian  

Jetzt habe ich zuerst gedacht die Matrix \( A_p \) besitzt nur die Basiselemente, aber da muss ich mich korrigieren. Die Elemente \( [n_{ij}]\) sind aus der Menge \( \{0,1,\ldots , p-1 \} = \mathbb{F}_p \).
Darum fällt leider auch mein erster Gedanke flach.

Überlegen wir uns das mal zusammen.

Wir nehmen eine beliebige Matrix.

Diese fassen wir anstatt über \( \mathbb{Z} \) über \( \mathbb{F}_p \) auf.

Dadurch haben wir aber nur noch Einträge aus \( \{0,1 , \ldots , p-1 \} \).

Koeffizienten mit \( n_{ij} \geq p \) müssen durch diese ersetzt werden. Und zwar durch Zahlen die den selben Rest beim teilen durch p besitzen.

Nehmen wir zum Beispiel unser Beispiel mit p=5.
Hätten wir ein \( n_{ij} = 6 \), so müssten wir die 6 durch eine 1 austauschen, da \( 6 \equiv 1 \mod 5 \)

Nun musst du dir also überlegen, warum bei diesem Übergang nicht mehr oder weniger lineare unabhängige Zeilen entstehen.

Der Gauß-Algorithmus wird denke ich nur angesprochen, da man mittels Gauß einfach den Rang einer Matrix berechnen kann.