In dem durch seine beiden parallelen Seiten \(AB\) und \(CD\) charakterisierten Trapez lassen sich eine Menge ähnlicher oder flächengleicher Dreiecke finden. (Die blau eingezeichneten Strecken \(m\) sind auch interessant; wir werden sie aber nicht brauchen.)

Aus

\[ \text{(1)}\qquad \Delta ABM \sim \Delta CDM \]

kann man schließen, dass

\[ \text{(2)}\qquad h_1 : h_2 = \sqrt{S_1} : \sqrt{S_2} \,.\]

Zieht man von den beiden Flächen

\[ \text{(3)}\qquad A_{\Delta ABC} = A_{\Delta ABD} \]

jeweils \(A_{\Delta ABM}\) ab, erhält man

\[ \text{(4)}\qquad S_3 := A_{\Delta BCM} = A_{\Delta DAM} \,.\]

Die Fläche des ganzen Trapezes ist

\[ \text{(5)}\qquad A_T = \textstyle \frac{1}{2} (a+c)(h_1+h_2) \,,\]

welche sich aus den Teilen

\[ \text{(6)}\qquad A_T = S_1 + S_2 + 2 S_3 \]

zusammensetzt. Andererseits ist 

\[ \text{(7)}\qquad S_1 + S_3 = A_{\Delta ABC} = \textstyle \frac{1}{2} a (h_1+h_2) \,,\]

womit wir genug Material besitzen, um das Ergebnis

\[ A_{\Delta ABC} = S_2 + \sqrt{S_1}\sqrt{S_2} \]

zu berechnen.