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Du hast gezeigt, dass \(\frac{n!}{n^n} \le \frac2{n^2}\) ist und letzteres sind die Summanden einer konvergenten Reihe, d.h. mit Majorante \(\frac2{n^2}\) und Majorantenkriterium ist Konvergenz von \(\sum \frac{n!}{n^n}\) bewiesen. Aber diese Summanden sind kleiner als die in der gefragten Reihe, und daher taugt diese Reihe als Minorante nicht. Und ja, die Konv/Div von \(\sum \frac{3^n\cdot n!}{n^n}\) ist damit noch offen.
Generell sucht man sich nicht vorher eine Majorante/Minorante raus und versucht dann eine Abschätzung hinzukriegen. Man fängt einfach an, nach oben abzuschätzen und hofft auf eine konv. Majorante zu stoßen. Oder andersrum, nach unten.... auf eine div. Minorante zu stoßen. Was man zuerst probiert, ist auch eine Übungssache, aber wie schon gesagt, nicht schlimm, wenn's mal schiefgeht.
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$$\frac{n!}{n^{n}}=n!\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\frac{3}{n})^{n} \geq n!\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})^{n}$$
Die Summe ist ja eine geometrische Summe, aber durch die Fakultät davor wächst es bis ins unendliche. Kann man das so stehen lasssen?
─ lia2105 30.12.2020 um 19:03
Dann habe ich mir gedacht, dass $$ \frac{n!}{n^{n}}=\frac{n*(n-1)*(n-2)*...*2*1}{n*n*n*...*n*n}$$. Um herauszufinden ob, diese Reihe nun divergiert oder nicht, habe ich es jedoch wieder nach oben abgeschätzt:
$$\leq \frac{n*n*n*...*n*2*1}{n*n*n*...*n*n}=\frac{2}{n^{2}}$$. Diese Reihe konvergiert also, aber ich bin im nachhinein aber trotzdem nicht weitergekommen. da ich ja keine Aussage darüber mache kann, ob die gegeben Reihe konvergiert. Ich vermute, ja und das heißt, dass ich eine Majorante finden muss, aber ich wüsste nicht, mit was ich es nach oben abschätzen kann...
─ lia2105 30.12.2020 um 18:00