Vor deinem Integral muss eine 8 stehen, weil \(\mathrm{d}t=2\mathrm{d}z\). Dann kommt \(-8\cos(\frac{t}{2})+c\) heraus. Das stimmt aber mit dem anderen Ergebnis fast überein. Dort fehlt irgendwie der Faktor 4 im Zähler.

Solche Rechner sind mit Vorsicht zu genießen, da sie das Ergebnis oft in einer anderen Form darstellen, was an der internen Berechnung liegt. Wenn man den Ausdruck des Integralrechners aber vereinfachen lässt (Wolfram Alpha bietet dafür zum Beispiel den Befehl simplify an), dann stimmt das Ergebnis - abgesehen von deinem Rechenfehler - mit deinem überein, zumindest, wenn \(t>0\).

https://www.wolframalpha.com/input/?i=simplify+-%284+sin%28x%29%29%2Fsqrt%28sin%5E2%28x%2F2%29%29

Dort kannst du dir die letzten beiden Ausdrücke anschauen.