Es gibt zum einen senkrechte Asymptoten, also Asymptoten die parallel zur \(y\)-Achse sind.

Die gibt es immer dann, wenn du durch null teilst. Du hast also eine Asymptote überall dort, wo der Nenner deiner gebrochen-rationalen Funktion null wird.

Du musst also die Nullstellen des Nennerpolynoms berechnen.

Bei der Funktion

\(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\)

hast du also eine Asysmptote, wenn

\(x-1=0\)

nach \(x\) aufgelöst:

\(x=1\)

Dort liegt deine Asymptote.

Es gibt aber auch noch schiefe Asymptoten. Die hast du immer dann, wenn der Grad deiner Funktion im Zähler genau eins größer ist als der Grad der Funktion im Nenner.

Bei unserer Funktion \(f(x)\) ist das der Fall, es gibt also auch eine schiefe Asymptote. Die Funktionsgleichung bestimmst du durch Polynomdivision. Du bekommst heraus

\(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac{1}{x-1}\)

Den Restterm, also den Bruch lässt du dann weg und schon hast du die Funktionsgleichung der schiefen Asymptote:

\(g(x)=x+1\)

Hallo, 

Der Begriff "Asymptote" einer Funktion ist eng verbunden mit der Bestimmung von Grenzwerten dieser Funktion in bestimmten Stellen.

Hier ist ein Bespiel einer rationalen Funktion:

f(x) = 4 / (x - 2)

Diese Funktion ist nicht definiert in x = 2 ( Nenner darf nicht Null sein ) aber du kannst den Grenzwert berechnen, wenn x sich an die Zahl 2 nähert.

lim f(x) = + infinity ; wenn x --> 2 und x>2

lim f(x) = - infinity ;  wenn x --> 2 und x<2

Wir sagen hier, dass die Funktion eine vertikale Asymptote hat mit der Gleichung x =2

Für die zweite Asymptote muss man den Grenzwert im +- infinity berechnen:

lim f(x) = 0+  ; wenn  x --> + inf

lim f(x) = 0-  ; wenn  x  --> -  inf

Wir sagen hier, dass die Funktion eine horizontale Asymptote hat, mit der Gleichung  y = 0

Gruß 

Elayachi Ghellam