[Beweis] Vektoren

Aufrufe: 667     Aktiv: 26.04.2020 um 00:13
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Hallo Leute, es geht um Vektoren 
R3 Vektoren u, v

|| v + w ||  \(\le \) || v || + || w ||

mein nächster Schritt: 
\(\sqrt{(v1 +w1)² + (v2 +w2)² + (v3 +w3)² }\)  <=  \(\sqrt{v1² + v2² +v3² }\)  + \(\sqrt{w1² + w2² +w3² }\)


weiter komme ich da leider nicht.
was mir noch einfällt wäre bei der ersten Gleichung die binomischen Formel auszuformen. aber ich sehe keinen Nutzen.
Hat jemand eine Idee? 

 

 

 

 

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Student, Punkte: 68

 
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Man beweist diese Dreiecks-Ungleichung, indem man sich folgenden Sachverhalt zunutze macht: Gilt

\( \lVert v+w \rVert^2 \leq (\lVert v \rVert + \lVert w \rVert)^2 \)

so ist auch die Dreiecksungleichung 

\( \lVert v+w \rVert \leq \lVert v \rVert + \lVert w \rVert \)

erfüllt. Wenn du dir also die euklidische Norm im Quadrat anschaust, fällt die Wurzel weg, weswegen du deutlich einfacher umformen kannst.

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Student, Punkte: 662

 

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Normalerweise beweist man zuerst die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Damit geht es einfacher.

Und wenn du es direkt machen möchtest: Ich würde erst quadrieren, dann tatsächlich die binomische Formel anwenden, dann fallen nämlich alle Quadrate weg und es stehen links noch die gemischten Terme und rechts der gemischte Term vom Quadrieren, ein Produkt von zwei Wurzeln. Dann nochmal quadrieren. Und dann weiß ich gerade nicht, wie es weitergeht.

Kleiner Tipp um Schreibarbeit zu sparen: Die Rechnung ist im R^2 im Prinzip genau die gleiche. Also mach es erstmal für den R^2.

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